리 대수

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 리 대수(Lie代數, 틀:Llang)는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 괄호라 부르는, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다.

정의

가환환 $K$ 위에 정의된 리 대수 $(𝔤,[\cdot ,\cdot ])$는 $K$-가군 $𝔤$와 다음을 만족하는 선형 변환 $[\cdot ,\cdot ]:𝔤\times 𝔤\to 𝔤$로 이루어진다.

• (쌍선형성) 모든 $x,y,z\in 𝔤$와 $a,b\in K$에 대해 $[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$이다.
• (교대성) 모든 $x\in 𝔤$에 대하여 $[x,x]=0$이다.
• (야코비 항등식) 모든 $x,y,z\in 𝔤$에 대해 $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$이다.

이 이항 연산은 리 괄호(Lie括弧, 틀:Llang)로 불린다. 리 대수의 준동형은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.

만약 $K$에서 2의 역원 $2^{-1}$이 존재한다면 (예를 들어, $K$가 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성, 즉 모든 $x,y\in 𝔤$에 대하여 $[x,y]+[y,x]=0$인 성질로 대체할 수 있다. (2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)

통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 $𝔤,𝔥$ 등으로 나타낸다.

정수환 $\mathbb{Z}$ 위의 리 대수를 리 환(Lie環, 틀:Llang)이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 (곱셈 결합 법칙을 따르는) 환을 이루지 않는다.

부분 대수와 아이디얼

틀:본문 가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 부분 리 대수(틀:Llang) $𝔥$는 리 괄호에 대하여 닫힌 $K$-부분 가군이다. 즉, $𝔥\subseteq 𝔤$이며 $[𝔥,𝔥]\subseteq 𝔥$이다.

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 리 대수 아이디얼 $I\subset 𝔤$는 $[𝔤,I]\subseteq I$를 만족하는 $K$-부분 가군이다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 몫 리 대수(틀:Llang) $𝔤/I$를 정의할 수 있다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

등급 리 대수

환의 개념에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, 등급 리 대수(等級Lie代數, 틀:Llang)의 개념을 정의할 수 있다. 가환 모노이드 $(D,+)$가 주어졌다고 하자. 가환환 $K$ 위의, $D$ 등급을 갖는 등급 리 대수 $(𝔤,[\cdot ,\cdot ])$는 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,

$𝔤=\underset{d\in D}{⨁}{𝔤}_d$

$[\cdot ,\cdot ]:{𝔤}_d\times {𝔤}_{d^{\prime }}\to {𝔤}_{d+d^{\prime }}$

이다.

성질

리 군론적 성질

틀:본문 리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접한 관계를 가진다. 모든 리 군에 대하여, 그 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 리 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류에 표준적으로 대응한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 $\mathrm{Lie}(\mathrm{SO}(5))=𝔰𝔬(5)$이다.

보편 대수학적 성질

리 군과 달리, 주어진 체 $K$ 위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.

• 0항 연산:
  • 0 (덧셈 항등원)
• 1항 연산:
  • − (덧셈 역원)
  • 임의의 $a\in K$에 대하여, 스칼라곱 $a\cdot$
• 2항 연산:
  • + (덧셈)
  • $[-,-]$ (리 괄호)

이는 $K$ 위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.

이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

• 아벨 리 대수. 이는 항등식 $[x,y]=0$으로 정의된다.
• $k$형의 멱영 리 대수. 이는 내림 중심렬의 길이가 $k$ 이하인 리 대수이다.
• $k$형의 가해 리 대수. 이는 유도열의 길이가 $k$ 이하인 리 대수이다.

리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 $𝒰$, $𝒱$가 주어졌을 때, 그 곱 $𝒰𝒱$는 $𝒱$의 원소들의, $𝒰$에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다.

범주론적 성질

주어진 체 $K$ 위의 리 대수와 리 대수 준동형의 범주 ${\mathrm{LieAlg}}_K$는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형 $\varphi :𝔤\to 𝔥$의 핵은 $0\in 𝔥$의 원상 ${\varphi }^{-1}(0)$이며, 이는 리 대수 아이디얼을 이룬다. $\varphi$의 여핵은 그 치역 $\varphi (𝔤)$를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.)

리 대수의 범주는 아벨 군의 범주 $\mathrm{Ab}$ 위의 풍성한 범주(틀:Llang)이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다.

체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주 ${\mathrm{uAssoc}}_K$에서 체 $K$ 위의 리 대수의 범주 ${\mathrm{LieAlg}}_K$로 가는 망각 함자

$\mathrm{Forget}:{\mathrm{uAssoc}}_K\to {\mathrm{LieAlg}}_K$

가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자

$𝒰:{\mathrm{LieAlg}}_K\to {\mathrm{uAssoc}}_K$

이다.

오퍼라드 이론적 성질

리 대수의 구조를 묘사하는 오퍼라드인 리 오퍼라드(틀:Llang) $\mathrm{Lie}$가 존재한다. 즉, 체 $K$ 위의 리 대수는 $K$-벡터 공간의 범주 위의 $\mathrm{Lie}$-대수이다. 마찬가지로, $K$-초 벡터 공간의 범주 위의 $\mathrm{Lie}$-대수는 리 초대수라고 한다.

다른 오퍼라드와 마찬가지로, 리 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 수 있다. 즉, 야코비 항등식이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 수 있다. 이를 L∞-대수라고 한다.

연산

중심

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 중심(中心, 틀:Llang) $\mathrm{Z}(𝔤)$은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.

$\mathrm{Z}(𝔤)=\{x\in 𝔤:[x,𝔤]=0\}$

이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.

몫 리 대수

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 리 대수 아이디얼 $𝔞\subseteq 𝔤$가 주어졌을 때, 몫 리 대수(틀:Llang) $𝔤/𝔞$를 정의할 수 있다. $K$-가군으로서, $𝔤/𝔞$는 몫가군 $𝔤/𝔞$이다. 이 위의 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.

$[x+𝔞,y+𝔞]=[x,y]+𝔞$

이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.

직합

가환환 $K$ 위의 두 리 대수 $𝔤$, $𝔥$가 주어졌을 때, 그 직합 $𝔤\oplus 𝔥$를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.

$[g,g^{\prime }{]}_{𝔤\oplus 𝔥}=[g,g^{\prime }{]}_{𝔤}\mathrm{\forall }g,g^{\prime }\in 𝔤$

$[h,h^{\prime }{]}_{𝔤\oplus 𝔥}=[h,h^{\prime }{]}_{𝔥}\mathrm{\forall }h,h^{\prime }\in 𝔥$

$[g,h{]}_{𝔤\oplus 𝔥}=[h,g{]}_{𝔤\oplus 𝔥}=0\mathrm{\forall }g\in 𝔤,h\in 𝔥$

보다 일반적으로, $K$-리 대수의 집합 $\{{𝔤}_i{\}}_{i\in I}$이 주어졌을 때, 그 직합

$\underset{i\in I}{⨁}{𝔤}_i$

를 정의할 수 있다. 마찬가지로, $K$-리 대수의 집합 $\{{𝔤}_i{\}}_{i\in I}$이 주어졌을 때, 그 직접곱

$\prod _{i\in I}{𝔤}_i$

를 정의할 수 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 더 크다.

실수체 위의 리 대수의 직합·직접곱은 리 군의 직접곱에 대응한다. 반면, 리 대수의 텐서곱은 일반적으로 정의될 수 없다.

리 대수의 확대

군에 대하여 군의 확대를 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 확대(擴大, 틀:Llang)를 다음과 같이 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열

$0\to 𝔥\stackrel{i}{\hookrightarrow }𝔢\stackrel{q}{\twoheadrightarrow }𝔤\to 0$

이 주어졌다면, $𝔢$를 $𝔤$의 $𝔥$로의 확대라고 한다. 만약 $\ker q$가 $𝔢$의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) 중심 확대(中心擴大, 틀:Llang)라고 한다.

반직접합

틀:본문 군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 반직접합(틀:Llang)을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.

미분

체 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$ 위의 미분(微分, 틀:Llang)은 다음과 같은 $K$-선형 변환이다.

$\delta :𝔤\to 𝔤$

이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.

$\delta [x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]\mathrm{\forall }x,y\in 𝔤$

리 대수 $𝔤$ 위의 미분들의 벡터 공간을 $𝔡𝔢𝔯(𝔤)$라고 쓰자. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 미분 리 대수(틀:Llang) $𝔡𝔢𝔯(𝔤)$라고 한다.

$[\delta ,{\delta }^{\prime }]=\delta \circ {\delta }^{\prime }-{\delta }^{\prime }\circ \delta \mathrm{\forall }\delta ,{\delta }^{\prime }\in 𝔡𝔢𝔯(𝔤)$

이는 $𝔤𝔩(𝔤;K)$의 부분 리 대수를 이룬다. 만약 $𝔤$가 아벨 리 대수라면 $𝔤𝔩(𝔤;K)=𝔡𝔢𝔯(𝔤)$이다.

$K=ℝ$일 경우, $𝔡𝔢𝔯(𝔤)$는 리 대수의 (리 군인) 자기 동형군 $\mathrm{Aut}(𝔤)$의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.

임의의 원소 $x\in 𝔤$에 대하여, 딸림표현 ${\mathrm{ad}}_x:y\mapsto [x,y]$는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 내부 미분(內部微分, 틀:Llang)이라고 한다.

구조론과 분류

우선 다음 성질을 정의하자.

• 아벨 리 대수(Abel Lie代數, 틀:Llang)는 임의의 $x,y\in 𝔤$에 대하여 $[x,y]=0$인 대수다.
• 멱영 리 대수는 다음을 만족한다. ${𝔤}_0=𝔤$이고, ${𝔤}_{k+1}=[{𝔤}_k,𝔤]$로 정의하자. 그렇다면 ${𝔤}_k=0$인 $k\in \mathbb{N}$이 존재한다.
• 가해 리 대수는 다음을 만족한다. ${𝔤}_0=𝔤$이고, ${𝔤}_{k+1}=[{𝔤}_k,{𝔤}_k]$로 정의하자. 그렇다면 ${𝔤}_k=0$인 $k\in \mathbb{N}$이 존재한다.
• 단순 리 대수는 자신이나 0이 아닌 리 대수 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.
• 반단순 리 대수는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 지니지 않는 리 대수다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수

단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수

다음을 보일 수 있다.

• 임의의 유한 차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다. (아도 정리 틀:Llang)
• 임의의 유한 차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타낼 수 있다. (레비 분해 틀:Llang)
• (실수 또는 복소수) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다. (이를 간혹 콤팩트 리 대수라 부르기도 한다. 물론, 리 대수는 벡터 공간이므로 위상수학적으로 절대 콤팩트 공간이 아니다.)
• 모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

아벨 리 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 단순 리 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 단순 리 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.

낮은 차원의 리 대수

3차원 이하의 실수 리 대수에 대하여, 비앙키 분류(틀:Llang)라는 분류가 존재한다. 이는 루이지 비앙키가 도입하였다.

2차원 이하 리 대수

임의의 체 $K$에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.

• 0차원 아벨 리 대수 $\{0\}$
• 1차원 아벨 리 대수 $K$
• 2차원 아벨 리 대수 $K^{\oplus 2}$
• 2차원 비아벨 가해 리 대수 $K{\oplus }_{\psi }K$. 여기서 $\psi :K\times K\to K$는 곱셈 $\psi (a,b)=ab$으로 잡을 수 있다.

2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.

• 특수 상삼각 행렬 대수 $𝔰𝔱(2;ℝ)\subset 𝔤𝔩(2;ℝ)$. 이는 2×2 상삼각 행렬 가운데, 대각합이 0인 것들로 구성된다.
• 1차원 아핀 대수 $𝔞𝔣𝔣(1;ℝ)$

3차원 실수 리 대수

모든 3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 단순 리 대수는 실수 반단순 리 대수는 $𝔰𝔩(2;ℝ)$와 $𝔬(3;ℝ)\cong 𝔰𝔲(2)$ 두 개가 있다. 전통적으로 $𝔰𝔩(2;ℝ)$는 VIII형, $𝔬(3;ℝ)$는 IX형으로 불린다.

3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합 ${ℝ}^2{\oplus }_{\psi }ℝ$으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용

$\psi :ℝ\to 𝔡𝔢𝔯({ℝ}^2)=𝔤𝔩(2;ℝ)$

$\psi :t\mapsto t\psi (1)$

는 2×2 실수 정사각 행렬 $\psi (1)\in 𝔤𝔩(2;ℝ)$에 의하여 완전히 결정된다. $\psi (1)$과 $\alpha M^{-1}\psi (1)M$ ($\alpha \in {ℝ}^{\times }$, $M\in \mathrm{GL}(2;ℝ)$)는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 $\psi (1)$의 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 I형~VII형으로의 이름이 붙어 있다.

$\psi (1)=\{\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ & \lambda \end{array}\right),\lambda \in ℝ& \{\begin{array}{cc}\lambda =0& \text{II}\\ \lambda \ne 0& \text{IV}\end{array}\\ \left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right),{\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ,{\lambda }_1\le {\lambda }_2& \{\begin{array}{cc}{\lambda }_1={\lambda }_2=0& \text{I}\\ {\lambda }_1={\lambda }_2\ne 0& \text{V}\\ {\lambda }_1=-{\lambda }_2\ne 0& {\text{VI}}_0\\ {\lambda }_1=0<{\lambda }_2\vee {\lambda }_1<{\lambda }_2=0& \text{III}\\ {\lambda }_1\ne \pm {\lambda }_2,{\lambda }_1\ne 0\ne {\lambda }_2& \text{VI}\end{array}\\ \left(\begin{array}{cc}a-ib& 0\\ 0& a+ib\end{array}\right),a\in ℝ,b\in {ℝ}^{+}& \{\begin{array}{cc}a=0& {\text{VII}}_0\\ a\ne 0& \text{VII}\end{array}\end{array}$

이 가운데 I형은 아벨 리 대수이며, II형은 하이젠베르크 대수 $𝔥(3;ℝ)$이자 2차원 갈릴레이 대수 $𝔤𝔞𝔩(2;ℝ)$이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 멱영 리 대수들이다. III형은 직합 $ℝ\oplus 𝔰𝔱(2;ℝ)$와 같다. V형은 평면의 닮음 변환군(틀:Llang, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 $𝔦𝔡(2;\Re )$이며, VI₀형은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 $𝔦𝔰𝔬(1,1;ℝ)$와 같으며, VII₀형은 2차원 유클리드 대수 $𝔦𝔰𝔬(2;ℝ)$와 같다. II형과 VI₀형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. VI형과 VII형은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.

즉,

$\psi (1)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)$

일 경우, $𝔤=\mathrm{Span}\{x,y,t\}$로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.

$[t,x]=ax$

$[t,y]=t(bx+cy)$

형	다른 이름	단일 연결 리 군의 중심	외부자기동형군	성질
I형	아벨 리 대수 ${ℝ}^3$	${ℝ}^3$	$\mathrm{GL}(3;ℝ)$	아벨 리 대수
II형	하이젠베르크 대수 $𝔥(3;ℝ)$, 갈릴레이 대수 $𝔤𝔞𝔩(2;ℝ)$	$ℝ$	$\mathrm{GL}(2;ℝ)$	멱영 리 대수
III형	$ℝ\oplus 𝔰𝔱(2;ℝ)$	$ℝ$	${ℝ}^{\times }$	가해 리 대수
IV형		0	$ℝ\times (\mathbb{Z}/2)$
V형	닮음 변환 대수 $𝔦𝔡(2;ℝ)$		$\{M\in \mathrm{GL}(2;ℝ):\det M=\pm 1\}$
VI형			${ℝ}^{\times }\times (\mathbb{Z}/2)$
VI0형	푸앵카레 대수 $𝔦𝔰𝔬(1,1;ℝ)$		$ℝ\times \mathrm{Dih}(\mathbb{Z}/4)$
VII형			${ℝ}^{\times }$
VII0형	유클리드 대수 $𝔦𝔰𝔬(2;ℝ)$	$\mathbb{Z}$	${ℝ}^{\times }\times (\mathbb{Z}/2)$
VIII형	특수 선형 대수$𝔰𝔩(2;ℝ)$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}/2$	단순 리 대수
IX형	직교 대수/유니터리 대수 $𝔬(3;ℝ)\cong 𝔲(2)$	$\mathbb{Z}/2$	1

3차원 복소수 리 대수

3차원의 복소수 리 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, 대수적으로 닫힌 체이므로 더 간단하다.

3차원 복소수 단순 리 대수의 경우, $𝔬(3;ℂ)\cong 𝔰𝔩(2;ℂ)$ 하나밖에 없다. 이는 전통적으로 VIII/IX형으로 불린다.

3차원 복소수 가해 리 대수의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 조르당 표준형의 분류로 귀결되는데, 이 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI₀형과 VII₀ 형이 같아진다.

$\psi (1)=\{\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ & \lambda \end{array}\right),\lambda \in ℂ& \{\begin{array}{cc}\lambda =0& \text{II}\\ \lambda \ne 0& \text{IV}\end{array}\\ \left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right),{\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℂ& \{\begin{array}{cc}{\lambda }_1={\lambda }_2=0& \text{I}\\ {\lambda }_1={\lambda }_2\ne 0& \text{V}\\ {\lambda }_1=-{\lambda }_2\ne 0& {\text{VI}}_0/{\text{VII}}_0\\ {\lambda }_1=0\ne {\lambda }_2\vee {\lambda }_1\ne {\lambda }_2=0& \text{III}\\ {\lambda }_1\ne \pm {\lambda }_2,{\lambda }_1\ne 0\ne {\lambda }_2& \text{VI}/\text{VII}\end{array}\end{array}$

4차원 이상

레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수의 체 위의, 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.

예

아벨 리 대수

가환환 $K$ 위의 자명한 가군 $\{0\}$ 위에, 자명한 리 괄호 $[0,0]=0$를 준다면 이는 리 대수를 이룬다. 이는 리 대수의 범주의 영 대상이다.

보다 일반적으로, 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위에 자명한 리 괄호 $[a,b]=0$을 준다면 이 역시 리 대수를 이룬다. 이를 아벨 리 대수(틀:Llang)라고 한다. 만약 $K$가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다.

단위 결합 대수의 리 대수 구조

틀:본문 가환환 $K$ 위의 단위 결합 대수 $(A,\cdot )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A$ 위에 다음과 같이 리 괄호를 환 교환자로 정의하면, $A$는 리 대수를 이룬다.

$[a,b]=a\cdot b-b\cdot a$

특히, $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 $𝔤𝔩(n;K)$이다.

미분

틀:본문 가환환 $K$ 위의 (결합 대수가 아닐 수 있는) 대수 $A$가 주어졌다고 하자. $A$ 위의 미분들의 집합을 $𝔡𝔢𝔯(A)$라고 쓰자. $𝔡𝔢𝔯(A)$ 위에 다음과 같은 리 괄호를 교환자로서 정의하자.

$[\delta ,{\delta }^{\prime }]=\delta \circ {\delta }^{\prime }-{\delta }^{\prime }\circ \delta$

그렇다면 $[\delta ,{\delta }^{\prime }]$ 역시 미분을 이룸을 알 수 있다. 이 리 괄호에 대하여 $𝔡𝔢𝔯(A)$는 $K$-리 대수를 이룬다.

자유 리 대수

틀:본문 리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 자유 리 대수(틀:Llang)를 정의할 수 있다. 집합 $S$ 위의 자유 리 대수를 $L(S)$라고 하고, $S$ 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 $K⟨S⟩$라고 하자. 그렇다면 $L(S)$는 자연스럽게 $K⟨S⟩$의 부분 집합을 이루며, $K⟨S⟩$는 $L(S)$의 보편 포락 대수이다. $L(S)$는 $K⟨S⟩$ 속의, $S$로 생성되는 부분 리 대수이다.

벡터장

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 $\mathrm{Vect}M$은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.

리 군 $G$ 위의, 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수 $\mathrm{Lie}G$를 이룬다. 즉, $\mathrm{Lie}G$는 $\mathrm{Vect}G$의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$ 위의 매끄러운 함수 $f,g\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)$에 대하여, 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하자.

$\{f,g\}={\omega }^{-1}(df,dg)$

그렇다면 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)$는 $ℝ$-리 대수를 이룬다. $\{f,-\}$의 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)$는 해밀턴 벡터장들로 구성된 $\mathrm{Vect}M$의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

보다 일반적으로, 푸아송 다양체 $(M,\{,\})$가 주어졌을 때, ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)$는 $ℝ$-리 대수를 이룬다.

형식적 벡터장

표수가 0인 체 $K$ 위의 형식적 멱급수환 $K[[x_1,\dots ,x_n]]$을 생각하자. 이 가환환 위의 미분은 $n$차원 공간 위의 형식적 벡터장으로 생각할 수 있다. 이러한 모든 미분들의 집합 $\mathrm{Der}K[[x_1,\dots ,x_n]]$은 리 대수를 이룬다. $\mathrm{Der}K[[x_1,\dots ,x_n]]$의 부분 리 대수를 형식적 벡터장 리 대수(틀:Llang)라고 한다.

두 형식적 벡터장 리 대수 $𝔤\subseteq \mathrm{Der}K[[x_1,\dots ,x_n]]$가 $K[[x_1,\dots ,x_n]]$의 자기 동형을 통해 관련된다면, 서로 좌표 변환 아래 동치(틀:Llang)라고 한다.

$X\in \mathrm{Der}K[[x_1,\dots ,x_n]]$의 차수는 다음과 같다.

$\mathrm{ord}X=-1+{\min }_{i=1}^n\mathrm{ord}X(x_i)\in \{-1,0,1,2,\dots \}$

여기서 우변에서 $\mathrm{ord}(x^n(c+O(x)))=n$이다. 이렇게 형식적 벡터장의 차수를 정의한다면, $\mathrm{ord}[X,Y]\ge \mathrm{ord}X+\mathrm{ord}Y$가 된다. 따라서, 형식적 벡터장 리 대수 $𝔤$ 속에서, 차수가 0 이상인 원소들의 부분 벡터 공간 ${𝔤}_0\subseteq 𝔤$는 부분 리 대수를 이룬다. $L_0$의 $L$ 속의 여차원은 $n$ 이하이다. 만약 $L_0$의 여차원이 $n$이라면, $L$을 추이적 형식적 벡터장 리 대수(틀:Llang)라고 한다.

1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 리 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 두 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다.

• $⟨x^i{\partial }_x⟩$, $i=0,1,2,3,\dots$. 이는 1차원 아벨 리 대수이다.
• $⟨x{\partial }_x,x^i{\partial }_x⟩$, $i=0,2,3,4,\dots$. 이는 2차원 비아벨 가해 리 대수이다.
• $⟨{\partial }_x,x{\partial }_x,x^2{\partial }_x⟩$. 이는 3차원 단순 리 대수이며, 2차원 특수 선형 대수 $𝔰𝔩(2;K)$와 동형이다.

이 가운데 추이적 형식적 벡터장 리 대수는 $⟨{\partial }_x⟩$, $⟨{\partial }_x,x{\partial }_x⟩$, $⟨{\partial }_x,x\partial x,x^2{\partial }_x⟩$ 세 개이다.

대수적으로 닫힌 체 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 리 대수들은 소푸스 리가 분류하였다. 실수체의 경우에도 마찬가지로 유사한 분류가 존재한다.

반단순 리 대수

틀:본문 표수 0인 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 반단순 리 대수는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는 ${𝔞}_n$, ${𝔟}_n$, ${𝔠}_n$, ${𝔡}_n$ 4개의 무한 족과 ${𝔢}_6$, ${𝔢}_7$, ${𝔢}_8$, ${𝔣}_4$, ${𝔤}_5$ 5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 반단순 리 대수 $𝔤$ 속에 카르탕 부분 대수 $𝔥\subset 𝔤$를 잡자. 그렇다면, $𝔞$ 속의 $𝔤$의 근계 $\mathrm{\Phi }\subset {𝔥}^{*}$를 생각하자. 그렇다면, 단순 리 대수의 구조론에 따라 $𝔤$는 ${\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}\mathrm{\Phi }$-등급 리 대수를 이룬다. 구체적으로, $g\in 𝔤$의 등급은

$(\mathrm{deg}g)h=[h,g]$

이다.

중심렬

군 $G$ 속의 한 중심렬

$G=G_0\ge G_1\ge \cdots$

이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 $i\in \mathbb{N}$에 대하여

$[G_i,G_j]\le G_{i+j}$

라고 하자. 그렇다면, $G_i/G_{i+1}$은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하자.

$L=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{G}_i/G_{i+1}$

이는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의하자.

$[x{G}_i,y{G}_j]=x^{-1}{y}^{-1}xy{G}_{i+j}$

그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.

호모토피 군

점을 가진 공간 $X$ 위의 호모토피 군 ${\pi }_k(X)$ 위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다.

$[,]:{\pi }_k(X)\times {\pi }_l(X)\to {\pi }_{k+l-1}(X)$

이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다. 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 군

${𝔤}_k={\pi }_{k-1}(X;\mathbb{Q})$

을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다.

기타 예

• 비라소로 대수는 물리학, 특히 2차원 등각 장론에 등장하는 무한 차원 리 대수이다.
• 아핀 리 대수와 그 일반화 카츠-무디 대수 역시 무한 차원 리 대수의 예이다.
• 하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 대표적인 예이다.

역사

소푸스 리가 리 군을 다루기 위하여 도입하였으며, "무한소군"(틀:Llang)으로 일컬었다. 빌헬름 킬링은 1888년~1890년 동안 반단순 리 대수의 분류를 제창하였고, 1894년에 엘리 카르탕이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다. 1898년에 루이지 비앙키는 3차원 이하의 리 대수의 비앙키 분류를 제시하였다.

1930년대에 헤르만 바일이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도(틀:Llang)가 1935년에 증명하였다. 레비 분해 정리는 1950년에 에우제니오 엘리아 레비(틀:Llang)가 증명하였다.

같이 보기

• 리 군
• 리 대수의 표현
• 근계
• 리 대수 코호몰로지
• 리 초대수
• 거스틴해버 대수

각주

• 틀:서적 인용
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• 틀:저널 인용
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외부 링크

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