대수적으로 닫힌 체

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 대수적으로 닫힌 체(代數的으로 닫힌 體, 틀:Llang)는 모든 다항식을 1차 다항식으로 인수 분해할 수 있는 체이다.

정의

체 $K$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 대수적으로 닫힌 체라고 한다.

• 다항식환 $K[t]$의 임의의 원소 $p(t)\in K[t]$에 대하여, $p(t_0)=0$인 $t_0\in K$가 항상 적어도 하나가 존재한다.
• $K[x]$의 기약 다항식이 모두 일차식이다.
• $K$의 대수적 확대가 $K$ 자신밖에 존재하지 않는다.
• 임의의 $K^n$에 대해, $K^n\to K^n$인 선형 변환은 항상 어떠한 고윳값을 가진다. (이것은 해당 선형 변환의 특성 다항식이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)

체 $K$의 대수적 폐포(代數的閉包, 틀:Llang) $\overline{K}$는 $K$를 포함하는, 대수적으로 닫힌 대수적 확대 $\overline{K}/K$이다. 대수적 폐포는 항상 존재한다. 주어진 체 $K$의 대수적 폐포들은 모두 서로 동형이지만, 이러한 동형은 표준적(틀:Llang)이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 함자를 이루지 않는다. 틀:증명 대수적 폐포의 존재는 초른 보조정리를 사용하여 보일 수 있다. 임의의 체 $K$가 주어졌다고 하자. 집합론적 문제를 피하기 위해,

$|X|>\max \{|K|,{\mathrm{\aleph }}_0\}$

인 집합 $X$를 잡고, $\mathrm{AlgExt}(X;K)$가 다음 조건들을 만족시키는 대수적 확대 $L/K$들의 집합이라고 하자.

• $K\subseteq L\subseteq X$
• 체의 매장 $K\hookrightarrow L$은 포함 함수로 주어진다.

이제, $L/K,L^{\prime }/K\in \mathrm{AlgExt}(X;K)$에 대하여, 만약 포함 함수 $L\to L^{\prime }$이 체의 매장이라면, $L\le L^{\prime }$이라고 정의하자. 그렇다면 $\mathrm{AlgExt}(X;K)$는 이 이항 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 임의의 사슬 $(L_i{)}_{i\in I}$에 대하여,

$L=\bigcup _{i\in I}{L}_i$

는 체를 이루며, $K$의 대수적 확대이며, 사슬 $(L_i{)}_{i\in I}$의 상계를 이룬다. 초른 보조정리에 따라, 극대 원소 $\overline{K}/K$가 존재한다. $\overline{K}$는 그 정의에 따라 $K$의 대수적 확대를 이룬다. $L/\overline{K}$가 대수적 확대이며, 편의상 체의 매장 $\overline{K}\hookrightarrow L$이 포함 함수로 주어진다고 가정하자. 그렇다면,

$|L|\le \max \{|K|,{\mathrm{\aleph }}_0\}$

이다. (왜냐하면, 임의의 대수적 원소에 최소 다항식을 대응시킬 수 있고, 같은 다항식에 대응하는 원소의 수는 다항식의 차수를 넘지 않기 때문이다.) 따라서,

$\begin{array}{cc}|L\setminus \overline{K}|& \le |L|\\ & \le \max \{|K|,{\mathrm{\aleph }}_0\}\\ & <|X|\\ & =|X\setminus \overline{K}|+|\overline{K}|\\ & =\max \{|X\setminus \overline{K}|,|\overline{K}|\}\\ & =|X\setminus \overline{K}|\\ \end{array}$

이다. (마지막 등식은 $|\overline{K}|<|X|=\max \{|X\setminus \overline{K}|,|\overline{K}|\}$ 때문이다.) 이에 따라, 체의 확대의 동형

$L/\overline{K}\stackrel{\cong }{\to }\tilde{L}/\overline{K}$

이 존재하는 $\tilde{L}/K\in \mathrm{AlgExt}(X;K)$가 존재한다. 그렇다면, $\tilde{L}/\overline{K}$는 대수적 확대이며, 체의 매장 $\overline{K}\hookrightarrow L$은 (포함 함수 $\overline{K}\hookrightarrow L$과 $\overline{K}$의 확대의 동형 $L/\overline{K}\stackrel{\cong }{\to }\tilde{L}/\overline{K}$의 합성이므로) 포함 함수이다. 즉, $\overline{K}\le \tilde{L}$이다. $\overline{K}$는 극대 원소이므로, $\tilde{L}=\overline{K}$이며, 따라서 $L=\overline{K}$이다. 즉, $\overline{K}$는 대수적으로 닫힌 체이며, $K$의 대수적 폐포를 이룬다. 틀:증명 끝 틀:증명 만약 $L/K$가 대수적 확대이며, $K[x]$ 속 모든 다항식이 $L$ 속에서 근을 갖는다면, $L$은 $K$의 대수적 폐포이다. 실제로, 만약 $M/L$이 대수적 확대라면, $M/K$ 역시 대수적 확대이다. 따라서, $M$의 임의의 원소는 $K[x]$ 속 어떤 다항식의 근이며, 가정에 따라 $L$에 속한다.

대수적 폐포는 다항식의 근을 주어진 체에 거듭 추가하여 구성할 수 있다. 임의의 체 $K$ 및 기약 다항식 $p\in K[x]$에 대하여, 몫환

$K[x]/(p(x))$

는 체이며, 환 준동형

$K\to K[x]/(p(x))$

$a\mapsto amod(p(x))$

은 체의 확대를 이룬다. 또한, $x\in K[x]$의 상은 $p$의 상의 근이며, 체를 생성한다.

이제, 무한 개의 $K$-대수의 텐서곱

$\underset{p\in \mathrm{irr}(K[x])}{⨂}K[x]/(p(x))=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subseteq \mathrm{irr}(K[x])}{|S|<{\mathrm{\aleph }}_0}}{\underrightarrow{\lim }}\underset{p\in S}{⨂}K[x]/(p(x))$

을 생각하자. 이는 유한 개의 $K$-대수의 텐서곱들의 귀납적 극한으로 주어지며, 여기에 사용된 $K$-대수 준동형들은 다음과 같다.

$\underset{p\in S}{⨂}K[x]/(p(x))\to \underset{p\in T}{⨂}K[x]/(p(x))$

$\underset{p\in S}{⨂}{a}_p\mapsto \underset{p\in S}{⨂}{a}_p\otimes \underset{p\in T\setminus S}{⨂}1$

자연스러운 $K$-대수 준동형

$K[x]/(p(x))\to \underset{q\in \mathrm{irr}(K[x])}{⨂}K[x]/(q(x))$

$a_p\mapsto a_p\otimes \underset{q\ne p}{⨂}1$

들이 존재하며, 그 상들은 무한 텐서곱을 생성한다. $B_p=\{1,{\alpha }_p,\dots ,{\alpha }_p^{\mathrm{deg}p-1}\}$가 $K$-대수 $K[x]/(p(x))$의 기저라고 하자. 그렇다면, 무한 텐서곱은 다음과 같은 기저를 갖는다.

$B=\{\underset{p\in \mathrm{irr}(K[x])}{⨂}{\alpha }_p^{i_p}:0\le i_p\le \mathrm{deg}p-1,|\{p:i_p\ne 0\}|<{\mathrm{\aleph }}_0\}$

특히, $K[x]/(p(x))\ne 0$이므로, 무한 텐서곱은 0이 아니다. 선택 공리에 따라, 무한 텐서곱의 극대 아이디얼 $𝔪$이 존재한다. 이 경우,

$\overline{K}=(\underset{p\in \mathrm{irr}(K[x])}{⨂}K[x]/(p(x)))/𝔪$

는 체를 이루며, 자연스러운 체의 확대 $K[x]/(p(x))\hookrightarrow \overline{K}$들이 존재하며, 그 상들은 체 $\overline{K}$를 생성한다. 두 체의 확대의 합성

$K\hookrightarrow K[x]/(p(x))\hookrightarrow \overline{K}$

로 주어지는 체의 확대는 $p$의 선택과 무관하게 같다. 두 체의 확대가 대수적 확대이므로, $\overline{K}/K$도 대수적 확대이다. 임의의 기약 다항식 $p\in K[x]$는 $K[x]/(p(x))$에서 근을 가지므로, $\overline{K}$에서 근을 갖는다. 즉, $\overline{K}$는 대수적으로 닫힌 체이며, $K$의 대수적 폐포이다. 틀:증명 끝 틀:증명 같은 체의 두 대수적 폐포

$\overline{K}/K$

${\overline{K}}^{\prime }/K$

가 주어졌다고 하자. $\mathrm{PartIsom}(\overline{K}/K,{\overline{K}}^{\prime }/K)$가 다음과 같은 데이터로 이루어진 순서쌍 $(L,\iota )$들의 집합이라고 하자.

• $L/K$는 $\overline{K}/K$의 부분 확대이다.
• $\iota :L/K\to {\overline{K}}^{\prime }/K$는 체의 확대의 매장(즉, $K$-대수 준동형)이다.

이제, $(L,\iota ),(L^{\prime },{\iota }^{\prime })\in \mathrm{PartIsom}(\overline{K}/K,{\overline{K}}^{\prime }/K)$에 대하여, 만약

${\iota }_{L{L}^{\prime }}\circ \iota ={\iota }^{\prime }$

인 체의 확대의 매장 ${\iota }_{L{L}^{\prime }}:L/K\hookrightarrow L^{\prime }/K$가 존재한다면, $(L,\iota )\le (L^{\prime },{\iota }^{\prime })$이라고 정의하자. 그렇다면, $\mathrm{PartIsom}(\overline{K}/K,{\overline{K}}^{\prime }/K)$는 부분 순서 집합을 이룬다. 임의의 사슬 $((L_i,{\iota }_i){)}_{i\in I}$에 대하여, 이러한 체의 확대의 매장

${\iota }_{ij}:L_i/K\hookrightarrow L_j/K$

들을 고르면, 귀납적 극한

$L=\underset{i\in I}{\underrightarrow{\lim }}{L}_i$

${\varphi }_i:L_i/K\hookrightarrow L/K(i\in I)$

을 정의할 수 있다. (체의 확대의 매장을 포함 함수로 여기는 경우, 이는 단순히 사슬에 속하는 체들의 합집합이다.) 체의 확대의 매장 ${\iota }_i:L_i/K\hookrightarrow {\overline{K}}^{\prime }/K$들은 $\iota \circ {\varphi }_i={\iota }_i$인 $L$의 매장 $\iota :L/K\to {\overline{K}}^{\prime }/K$을 유도한다. $\le$의 정의에 따라 $(L_i,{\iota }_i)\le (L,\iota )$이다. 즉, $(L,\iota )$는 사슬의 상계이다. 초른 보조정리에 따라, 극대 원소 $(L,\iota )$가 존재한다. 이제, 다음 두 가지를 보이면 충분하다.

• $L=\overline{K}$
  • 만약 $\alpha \in \overline{K}\setminus L$이라면, $\alpha$의 최소 다항식 $p_a\in K[x]$는 ${\overline{K}}^{\prime }$에서도 근 ${\alpha }^{\prime }\in {\overline{K}}^{\prime }$을 갖는다. 따라서, $\iota :L/K\hookrightarrow {\overline{K}}^{\prime }/K$를 확장하는, $\alpha \mapsto {\alpha }^{\prime }$인 유일한 매장 $L(\alpha )/K\hookrightarrow {\overline{K}}^{\prime }/K$가 존재한다. 그런데 $(L,\iota )$가 극대 원소이므로, 이는 불가능하다.
• $\iota (\overline{K})={\overline{K}}^{\prime }$
  • $\overline{K}$가 대수적으로 닫힌 체이므로, $\iota (\overline{K})$도 대수적으로 닫힌 체이다. ${\overline{K}}^{\prime }/K$가 대수적 확대이므로, ${\overline{K}}^{\prime }/\iota (\overline{K})$도 대수적 확대이다. 따라서, $\iota (\overline{K})={\overline{K}}^{\prime }$이다.

분류

두 대수적으로 닫힌 체 $K$와 $K^{\prime }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $K$와 $K^{\prime }$은 체로서 서로 동형이다.
• $K$와 $K^{\prime }$은 같은 표수를 가지며, 또한 같은 절대 초월 차수(대수 독립 집합의 최대 크기)를 갖는다.

따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 $p$와 초월 차수 $\kappa$로 완전히 분류된다. 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체들은

$\overline{{𝔽}_p(\{x_i{\}}_{i\in I})}$

또는

$\overline{\mathbb{Q}(\{x_i{\}}_{i\in I})}$

의 꼴로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 복소수체는 초월 차수가 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이므로,

$ℂ\cong \stackrel{‾}{\mathbb{Q}(\{x_i{\}}_{i\in 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}})}$

이다.

성질

절대 초월 차수가 기수 $\kappa$인 대수적으로 닫힌 체 $K$의 집합의 크기는 다음과 같다.

$|K|=\max \{\kappa ,{\mathrm{\aleph }}_0\}$

즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이다. 이는 $\kappa >{\mathrm{\aleph }}_0$이면 절대 초월 차수와 같으므로, 비가산 대수적으로 닫힌 체들은 집합의 크기와 체의 표수에 따라 분류된다. (물론, 이는 가산 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.)

예

표수 0

• 복소수체는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 대수학의 기본 정리로 알려져 있다.
• 실수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 예를 들어, 변수 $x$에 대한 다항방정식 $x^2+1=0$은 실수근을 갖지 않는다. 실수체의 대수적 폐포는 복소수체다. (대수학의 기본 정리)
• 유리수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포는 대수적 수의 체이다.

양의 표수

모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$인 경우, 다항식 $(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)+1$은 해를 갖지 않는다. 소수 $p$의 크기를 가진 유한체 ${𝔽}_p$의 대수적 폐포 ${\overline{𝔽}}_p$는 귀납적 극한

${\overline{𝔽}}_p=\underrightarrow{\lim }{𝔽}_{p^n}$

이다. 즉, 만약 체의 확대

${𝔽}_{p^n}\hookrightarrow {𝔽}_{p^{kn}}$

을 집합론적 부분집합으로 간주하여

${𝔽}_{p^n}\subset {𝔽}_{p^{kn}}$

로 쓴다면,

${\overline{𝔽}}_p=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{𝔽}_{p^n}$

이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 분해 가능 폐포