풍성한 범주

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 풍성한 범주(豐盛-範疇, 틀:Llang)는 "사상 집합"이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상이 될 수 있는, 범주의 개념의 일반화이다.

정의

모노이드 범주

$(ℳ,\otimes :ℳ\times ℳ\to ℳ,I\in \mathrm{Ob}(ℳ),\alpha :(ℳ\otimes ℳ)\otimes ℳ\Rightarrow ℳ\otimes (ℳ\otimes ℳ),\lambda :(I\otimes ℳ)\Rightarrow {\mathrm{Id}}_{ℳ},\rho :(ℳ\otimes I)\Rightarrow {\mathrm{Id}}_{ℳ})$

가 주어졌다고 하자. $ℳ$ 위의 풍성한 범주(틀:Llang) $𝒞$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 모임 $\mathrm{Ob}(𝒞)$. 이 모임의 원소를 $𝒞$의 대상(틀:Llang)이라고 한다.
• 임의의 $X,Y\in \mathrm{Ob}(𝒞)$에 대하여, ${\mathrm{hom}}_{𝒞}(a,b)\in \mathrm{Ob}(ℳ)$.
• 임의의 $X\in \mathrm{Ob}(𝒞)$에 대하여, $ℳ$-사상 ${\mathrm{id}}_X:I\to {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X)$. 이는 항등 사상을 나타낸다.
• 임의의 $X,Y,Z\in \mathrm{Ob}(𝒞)$에 대하여, $ℳ$-사상 ${\circ }_{XYZ}:{\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,Z)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\to {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Z)$. 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음 세 그림을 가환하게 만들어야만 한다.

• (사상 합성의 결합 법칙)

  $\begin{array}{ccccc}({\mathrm{hom}}_{𝒞}(Z,W)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,Z))\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)& \stackrel{{\circ }_{YZW}\otimes \mathrm{id}}{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,W)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)& \stackrel{{\circ }_{XYW}}{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,W)\\ \downarrow \alpha & & & & \downarrow \mathrm{id}\\ {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Z,W)\otimes ({\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,Z)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y))& \underset{\mathrm{id}\otimes {\circ }_{XYZ}}{\overset{}{\to }}& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Z,W)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Z)& \underset{{\circ }_{XZW}}{\overset{}{\to }}& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,W)\end{array}$

• (사상 합성의 왼쪽 항등원)

  $\begin{array}{ccc}I\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)& \stackrel{{\mathrm{id}}_Y\otimes \mathrm{id}}{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,Y)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\\ & \lambda \searrow & \downarrow {\circ }_{XYY}\\ & & {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\end{array}$

• (사상 합성의 오른쪽 항등원)

  $\begin{array}{ccc}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\otimes I& \stackrel{\mathrm{id}\otimes {\mathrm{id}}_X}{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X)\\ & \rho \searrow & \downarrow {\circ }_{XXY}\\ & & {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\end{array}$

풍성한 함자

모노이드 범주 $ℳ$ 위의 두 풍성한 범주 $𝒞$, $𝒟$ 사이의 $ℳ$-풍성한 함자(틀:Llang) $F:𝒞\to 𝒟$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 대상 $X\in 𝒞$에 대하여, 대상 $F(X)\in 𝒟$
• 두 대상 $X,Y\in 𝒞$에 대하여, $ℳ$ 속의 사상 $F_{XY}:{\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)\to {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),F(Y))$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• (항등원의 보존) 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  $\begin{array}{c}I\\ {\mathrm{id}}_X\downarrow & \searrow {\mathrm{id}}_{F(X)}\\ {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X)& \underset{F_{XX}}{\overset{}{\to }}& {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),F(X))\end{array}$

• (사상 합성의 보존) 임의의 대상 $X,Y,Z\in 𝒞$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  $\begin{array}{ccc}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,Z)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)& \stackrel{\circ }{\to }& {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Z)\\ F_{YZ}\otimes F_{XY}\downarrow & & \downarrow F_{XZ}\\ {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(Y),F(Z))\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),F(Y))& \underset{\circ }{\overset{}{\to }}& {\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(X),F(Z))\end{array}$

예

국소적으로 작은 범주는 집합의 범주 $\mathrm{Set}$ 위의 풍성한 범주와 같다.

n-범주

작은 범주의 범주 $\mathrm{Cat}$ 위의 풍성한 범주를 2-범주(틀:Llang)라고 한다. 보다 일반적으로, $n$-범주의 범주 $n\text{-Cat}$ 위의 풍성한 범주를 $(n+1)$-범주(틀:Llang)라고 한다.

선형 범주

가환환 $R$ 위의 가군들의 범주 ${\mathrm{Mod}}_R$는 텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 이 위의 풍성한 범주는 $R$-선형 범주(-線型範疇, 틀:Llang)라고 한다.

준가법 범주

특히, $R=\mathbb{Z}$ (정수환)인 경우, ${\mathrm{Mod}}_R$는 아벨 군의 범주 $\mathrm{Ab}$와 같다. $\mathrm{Ab}$-풍성한 범주는 준가법 범주(準加法範疇, 틀:Llang)라고 하고, $\mathrm{Ab}$-풍성한 함자는 가법 함자(加法範疇, 틀:Llang)라고 한다.

준가법 범주는 항상 영 대상을 가지며, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치한다.

가법 범주(틀:Llang)는 유한 완비 준가법 범주이다. (준가법 범주에서 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하므로, 유한 완비 범주인 것은 유한 쌍대 완비 범주인 것과 동치이다.)

같이 보기

• 내적 범주

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:Nlab
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