쌍대곱

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 쌍대곱(雙對-, 틀:Llang)은 곱에 대한 쌍대(틀:Lang) 개념이다. 가군의 직합이나 집합의 분리 합집합 등을 일반화한다. 이산 범주를 정의역으로 하는 함자의 쌍대극한으로 생각할 수 있다.

정의

범주 $𝒞$의 대상의 집합 $\{X_j{\}}_{j\in J}$를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 쌍대곱 $\coprod _{j\in J}{X}_j$는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

• 대상 $X\in \mathrm{ob}(𝒞)$
• 각 $X_j$에 대하여, 사상 $i_j:X_j\to X$

이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 $Y\in \mathrm{ob}(𝒞)$와 사상 $f_j:X_j\to Y$에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 $f:X\to Y$가 존재한다.

$f{i}_j=f_j$.

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 $f$가 존재한다.

예

각종 범주에서의 쌍대곱은 다음과 같다.

범주	쌍대곱
집합의 범주 $\mathrm{Set}$	분리합집합 $A\bigsqcup B$
위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$	분리합공간 $A\bigsqcup B$
군의 범주 $\mathrm{Grp}$	자유곱 $A*B$
아벨 군의 범주 $\mathrm{Ab}$	직합 $A\oplus B$ (유한 직합은 곱과 일치)
체 $K$에 대한 벡터 공간의 범주 $𝐾\mathrm{-}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}$	직합 $A\oplus B$
환 $R$에 대한 왼쪽 가군의 범주 $𝑅\mathrm{-}\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$	직합 $A\oplus B$
가환환 $R$에 대한 가환 결합 대수의 범주 $𝑅\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}$	텐서곱 $A{\otimes }_{R}B$
콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 $\mathrm{CompHaus}$	분리합공간의 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta (A\bigsqcup B)$

같이 보기

• 극한 (범주론)
• 귀납적 극한
• 밂 (범주론)