텐서곱

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 텐서곱(틀:Llang)은 두 쌍가군 또는 가군 또는 결합 대수에 대하여 정의할 수 있는 이항 연산이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$-결합 대수 $A$, $B$, $C$
• $(A,B)$-쌍가군 (=$A{\otimes }_K{B}^{\mathrm{op}}$-왼쪽 가군) ${}_A{M}_B$
• $(B,C)$-쌍가군 (=$B{\otimes }_K{C}^{\mathrm{op}}$-왼쪽 가군) ${}_B{N}_C$

그렇다면, $M$과 $N$의 텐서곱은 다음과 같이 구성되는 $(A,C)$-쌍가군이다.

1. 곱집합 $M\times N$ 위의 자유 $(A,C)$-쌍가군 ${}_A{X}_C$를 생각하자.
2. $X$ 위에서 다음과 같은 이항 관계 ${\sim }_0$로 생성되는, $(A,C)$-쌍가군의 합동 관계 $\sim$를 생각하자.
   $(m,n)+(m^{\prime },n){\sim }_0(m+m^{\prime },n)(m,m^{\prime }\in M,n\in N)$
   $(m,n)+(m,n^{\prime }){\sim }_0(m,n+n^{\prime })(m\in M,n,n^{\prime }\in N)$
   $a(m,n){\sim }_0(am,n)(m\in M,n\in N,a\in A)$
   $(m,n)c{\sim }_0(m,nc)(m\in M,n\in N,c\in C)$
   $(mb,n){\sim }_0(m,bn)(m\in M,n\in N,b\in B)$
3. $(A,C)$-쌍가군 $X/\sim$을 생각하자. 이를 텐서곱 $M{\otimes }_{B}N$이라고 한다.

특수한 경우

다음과 같은 특수한 경우들을 생각할 수 있다.

• 만약 $K=A=C=\mathbb{Z}$라면, $M_B$은 $B$-오른쪽 가군이며, ${}_{B}N$은 $B$-왼쪽 가군이다. 이 경우, $B$-오른쪽 가군과 $B$-왼쪽 가군의 텐서곱은 아벨 군(=$(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$-쌍가군)이다.
• 만약 $K=A=B=C$라면, $M$과 $N$은 $K$-가군이다. 이 경우, 두 $K$-가군의 텐서곱은 $K$-가군이다.
  • 특히, 만약 $K$가 체일 때, 두 $K$-벡터 공간의 텐서곱은 $K$-벡터 공간이다.
  • 특히, 만약 $K=\mathbb{Z}$일 때, 두 아벨 군의 텐서곱은 아벨 군이다.
• 만약 $K=B$가 체이며, $G$와 $H$가 군이며, $A=K[G]$, $C^{\mathrm{op}}=K[H]$(즉, $K$계수 군환)이라고 하자. 그렇다면, $M$과 $N$은 각각 $G$와 $H$의 표현이며, 이 경우 $M{\otimes }_{K}N$은 $A{\otimes }_K{C}^{\mathrm{op}}=K[G\times H]$-왼쪽 가군을 이룬다. 즉, $M{\otimes }_{K}N$은 직접곱 $G\times H$의 표현을 갖는다. 이를 두 군 표현의 외부 텐서곱(틀:Llang)이라고 한다.
  • 특히, 위의 경우에서 만약 $G=H$라면, 대각 사상 $G\to G\times G$를 통해, $M{\otimes }_{K}N$은 $G$의 표현을 이룬다. 이를 두 군 표현의 텐서곱이라고 한다.

결합 대수의 텐서곱

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$-결합 대수 $A$, $B$

그렇다면, $A$와 $B$는 둘 다 $K$-가군이므로, 텐서곱 $A{\otimes }_{K}B$를 정의할 수 있으며, 이는 $K$-가군을 이룬다. 그런데, 이 경우 $A{\otimes }_{K}B$는 자연스럽게 $K$-결합 대수의 구조를 가지며, 이는 다음과 같다.

$(a{\otimes }_{K}b)(a^{\prime }{\otimes }_K{b}^{\prime })=(a{a}^{\prime }){\otimes }_K(b{b}^{\prime })$

이에 따라, $K$-결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주가 된다.

성질

가환환 $K$ 위의 가군의 범주 ${\mathrm{Mod}}_K$를 생각하자. 이는 텐서곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 특히,

• 텐서곱은 결합 법칙을 따른다.
• 텐서곱의 항등원은 1차원 자유 가군 $K$이다.

또한, ${\mathrm{Mod}}_K$는 닫힌 모노이드 범주이다. 다시 말해, 임의의 $K$-가군 $M$, $N$, $P$에 대하여 다음이 성립한다.

${\mathrm{hom}}_K(M\otimes N,P)\cong {\mathrm{hom}}_K(M,{\mathrm{hom}}_K(N,P))$

Tor 함자

틀:본문 텐서곱 함자의 유도 함자를 Tor 함자라고 한다.

예

가환환 $K$ 위의 두 유한 차원 자유 가군

$M=K^{\oplus m}$

$N=K^{\oplus n}$

$m,n\in \mathbb{N}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서곱은 다음과 같은 자유 가군이다.

$M{\otimes }_{K}N=K^{\oplus (mn)}$

즉, (차원이 더해지는) 직합과 달리, 텐서곱에서는 차원이 곱해진다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
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• 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용
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