오퍼라드

틀:위키데이터 속성 추적 대수학과 대수적 위상수학에서 오퍼라드(틀:Llang)는 이항 연산을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 일반화·추상화한 개념이다. 대수적 대상의 (반)가환성과 결합성 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화한다.

정의

자연수를 음이 아닌 정수로 정의하자. 모노이드 범주 $(𝒞,\otimes ,1_{\otimes })$에서, 대상 $C\in 𝒞$의 원소는 사상 $1_{\otimes }\to C$로 정의하자.

대칭 모노이드 범주 $(𝒞,\otimes ,1_{\otimes })$에서의 오퍼라드 $(P,\circ ,1_P)$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• (연산 집합) 모든 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $𝒞$의 대상 $P(n)\in 𝒞$. $P(n)$의 원소를 각각 $n$-항 연산(틀:Llang)이라고 한다.
• (항등 연산) $P(1)$의 원소 $1_P\in P(1)$. 이를 항등 연산(틀:Llang)이라고 한다.
• (변수의 치환) 각 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 군 준동형 $*:\mathrm{Sym}(n)\to {\mathrm{Aut}}_{𝒞}(P(n),P(n))$. 여기서 $\mathrm{Sym}(n)$은 대칭군이다.
• (연산의 합성) 자연수 $n,n_1,n_2,\dots ,n_n\in \mathbb{N}$에 대해, 함수들

$\begin{array}{ccc}P(n)\otimes P(n_1)\otimes \cdots \otimes P(n_n)& \to & P(n_1+\cdots +n_n)\\ (\theta ,{\theta }_1,\dots ,{\theta }_n)& \mapsto & \theta \circ ({\theta }_1,\dots ,{\theta }_n)\end{array}$

이 데이터는 다음의 성질들을 만족시켜야 한다.

• (결합법칙) 모든 $\theta \in P(n)$, ${\theta }_i\in P(n_i)$, ${\theta }_{i,j(i)}\in P(n_{i,j(i)})$에 대하여 ($i=1,\dots ,n$, $j(i):1,\dots ,n_i$),

$\theta \circ ({\theta }_1\circ ({\theta }_{1,1},\dots ,{\theta }_{1,n_1}),\dots ,{\theta }_n\circ ({\theta }_{n,1},\dots ,{\theta }_{n,n_n}))=(\theta \circ ({\theta }_1,\dots ,{\theta }_n))\circ ({\theta }_{1,1},\dots ,{\theta }_{1,n_1},\dots ,{\theta }_{n,1},\dots ,{\theta }_{n,n_n})$

• (항등원의 성질) 모든 $\theta \in P(n)$에 대하여,

$\theta \circ (\stackrel{n}{\overbrace{1,\dots ,1}})=\theta =1\circ \theta$

• (치환의 작용) 모든 $\theta \in P(n)$ 및 ${\theta }_i\in P(n_i)$ ($i=1,\dots ,n$) 및 순열 $\sigma \in \mathrm{Sym}(n)$에 대하여,

$(\theta \circ ({\theta }_1,\dots ,{\theta }_n))*\sigma =\theta \circ ({\theta }_{\sigma (1)},\dots ,{\theta }_{\sigma (n)})$

• (치환의 작용) 모든 $\theta \in P(n)$ 및 ${\theta }_i\in P(n_i)$ 및 순열 ${\sigma }_1\in \mathrm{Sym}(n_i)$ ($i=1,\dots ,n$)에 대하여,

$(\theta \circ ({\theta }_1*{\sigma }_1,\dots ,{\theta }_n*{\sigma }_n))=(\theta \circ ({\theta }_1,\dots ,{\theta }_n))*\iota ({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n)$

여기서 $\iota :\prod _{i=1}^n\mathrm{Sym}(n_i)\hookrightarrow \mathrm{Sym}(\sum _{i=1}^n{n}_i)$는 군의 자연스러운 포함 관계이다.

같은 대칭 모노이드 범주 $𝒞$ 속의 두 오퍼라드 $(P,{\circ }_P,1_P)$, $(Q,{\circ }_Q,1_Q)$ 사이의 사상 $f:P\to Q$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 사상 $f(n):P(n)\to Q(n)$.

이는 다음 성질들을 만족시켜야 한다.

• (연산 합성의 보존) 모든 $(\theta ,{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n)\in P(n)\times P(n_1)\times P(n_2)\times \cdots \times P(k_n)$에 대하여,

$f(\theta {\circ }_P({\theta }_1,\dots ,{\theta }_n))=f(\theta ){\circ }_Q(f({\theta }_1),\dots ,f({\theta }_n))$

• (항등원의 보존) $f(1_P)=1_Q$
• (대칭군의 작용의 보존)

이에 따라, $𝒞$에서의 오퍼라드들은 범주 $𝒞\mathrm{-Operad}$를 이룬다.

오퍼라드의 모나드

집합의 데카르트 닫힌 범주 $\mathrm{Set}$ 속의 오퍼라드 $(P,{\circ }_P,1_P)$가 주어지면, 이로부터 $\mathrm{Set}$ 위의 모나드 $\hat{P}:\mathrm{Set}\to \mathrm{Set}$를 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 $S$는 항상 0항 연산의 집합으로 취급할 수 있는데, $\hat{P}(S)$는 $P$와 $S$를 합성하여 정의할 수 있는 0항 연산들의 집합이다. 이 경우, 자연 변환 $\hat{P}\hat{P}⟹\hat{P}$는 $P$의 연산의 합성으로서 자연스럽게 정의된다.

오퍼라드 대수

틀:본문 오퍼라드는 어떤 대수 구조가 만족시킬 수 있는 일련의 공리들을 정의한다. 이에 따라, 주어진 대칭 모노이드 범주 속에서, 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는 구조의 개념을 정의할 수 있으며, 이를 오퍼라드 대수라고 한다.

예

자기준동형 오퍼라드

$(𝒞,\otimes ,1)$가 국소적으로 작은 대칭 모노이드 범주라고 하고, 그 속에 대상 $X\in 𝒞$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 자기준동형 오퍼라드(틀:Llang) ${\mathrm{End}}_{𝒞}(X)$는 다음과 같은 (집합 값을 갖는) 오퍼라드이다.

• 각 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, ${\mathrm{End}}_{𝒞}(X)(n)={\mathrm{hom}}_{𝒞}(X^n,X)$
• $1_{{\mathrm{End}}_{𝒞}(X)}={\mathrm{id}}_X$
• 각 $\theta ,{\theta }_1,\dots ,{\theta }_n$에 대하여,

$\theta \circ ({\theta }_1,\dots ,{\theta }_n)=\theta \circ \underset{i=1}{\overset{n}{\otimes }}{\theta }_i$

초입방체 오퍼라드

양의 정수 $k$에 대하여, $k$차원 초입방체 오퍼라드(틀:Llang) $C_k$는 다음과 같다.

• $C_k(n)$은 $n$개의 $k$차원 초입방체 ${◻}_1,\dots ,{◻}_n$를 하나의 $k$차원 초입방체 $◻$에 서로 겹치지 않고, ${◻}_i$의 면들이 $◻$의 면들과 서로 평행하게 매장하는 방법들이다.
• $C_k$의 항등원은 초입방체 $◻$ 위의 항등 함수이다.
• $C_k$에서, $\theta :{◻}_1\bigsqcup \cdots \bigsqcup {◻}_n\hookrightarrow ◻$와 ${\theta }_i:{◻}_{i,1}\bigsqcup \cdots \bigsqcup {◻}_{i,n_i}\hookrightarrow {◻}_i$ ($i=1,\dots ,n$)의 합성은 매장을 합성하여, ${\theta }_{i,j}$를 $\theta$ 속에 겹치지 않고, 면들이 평행하게 매장시키는 사상이다.

결합법칙 오퍼라드

벡터 공간의 닫힌 대칭 모노이드 범주 ${\mathrm{Vect}}_K$ 위에서 다음과 같은 오퍼라드 ${\mathrm{Assoc}}_K$를 정의하자.

• ${\mathrm{Assoc}}_K$의 $n$항 연산은 $n!$차원 $K$-벡터 공간 ${\mathrm{Span}}_K\mathrm{Sym}(n)$이다. 여기서 $\mathrm{Sym}(n)$은 크기가 $n!$인 대칭군이다.
• $\mathrm{Sym}(n)$의 작용은 군 $\mathrm{Sym}(n)$의 왼쪽 곱셈의 선형 확장이다.
• ${\mathrm{Assoc}}_K$의 연산의 합성은 군 준동형

$\mathrm{Sym}(n_1)\times \cdots \times \mathrm{Sym}(n_k)\to \mathrm{Sym}(n_1+\cdots +n_k)$

의 선형 확장이다.

이 경우, ${\mathrm{Assoc}}_K$ 위의 대수는 결합 $K$-대수이다. 마찬가지로, 교환법칙 따위를 오퍼라드로 나타낼 수 있다.

역사와 어원

존 피터 메이(틀:Llang)와 마이클 보드먼(틀:Llang), 라이너 폭트(틀:Llang) 가 호모토피 이론에서 도입하였다. "오퍼라드"라는 이름은 메이가 작명하였고, 이 이름을 고르는 데 일주일을 소비했다고 한다. 메이에 따르면, "오퍼라드"(틀:Llang)는 틀:Llang(연산)과 틀:Llang(모나드)의 합성어이다. 틀:인용문2

이후 막심 콘체비치가 오퍼라드의 개념을 이론물리학 등에 응용하였다.

응용

수학에서, 오퍼라드의 개념은 결합 대수, 가환 결합 대수, 리 대수, 거스틴해버 대수, 강한 호모토피 대수(strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 공통적으로 기술하는 편리한 용어로 쓰인다.

이론물리학에서, 오퍼라드의 개념은 양자장론 · 끈 이론 등을 다룰 때에도 쓰인다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:저널 인용

같이 보기

• A∞-오퍼라드