점을 가진 공간

틀:위키데이터 속성 추적 호모토피 이론에서 점을 가진 공간(틀:Llang)은 위상 공간과 그 속의 한 점으로 이루어진 순서쌍이다.

정의

범주 $𝒞$ 가 시작 대상 $1 \in 𝒞$ 을 갖는다고 하자.

$𝒞$ 위의 점을 가진 범주(틀:Llang) $𝒞_{∙}$ 는 쌍대 조각 범주 $1 ∖ 𝒞$ 이다. 즉,

$𝒞_{∙}$ 의 대상은 $𝒞$ 의 사상 $∙_{X} : 1 \to X$ 이다. 이는 $X$ 와 그 속의 "점" $∙_{X}$ 의 순서쌍 $(X, ∙_{X})$ 으로 생각할 수 있다. 이를 $X$ 의 밑점(-點, 틀:Llang)이라고 한다.
$𝒞_{∙}$ 의 대상 $(X, ∙_{X}), (Y, ∙_{Y}) \in 𝒞_{∙}$ 사이의 사상 $f : (X, ∙_{X}) \to (Y, ∙_{Y})$ 은 다음 그림을 가환하게 하는 $𝒞$ 에서의 사상 $f : X \to Y$ 이다.
$\begin{matrix} 1 & \overset{∙_{X}}{\to} & X \\ ∙_{Y} ↘ & ↓ f \\ Y \end{matrix}$

즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.

성질

시작 대상 $1 \in 𝒞$ 을 가진 범주 $𝒞$ 위의 점을 가진 범주 $𝒞_{∙}$ 는 항상 영 대상 $1 \in 𝒞_{∙}$ 을 가진다.

영 대상을 가진 범주 $𝒞$ 위의 점을 가진 범주는 $𝒞$ 와 동치이다. 즉, 범주 $𝒞$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$𝒞$ 는 영 대상을 가진다.
$𝒞 ≃ 𝒟_{∙}$ 인, 시작 대상을 가진 범주 $𝒟$ 가 존재한다.

망각 함자

시작 대상 $1 \in 𝒞$ 을 가진 범주 $𝒞$ 위의 점을 가진 범주 $𝒞_{∙}$ 는 원래 범주 $𝒞$ 로 가는 자연스러운 망각 함자

F : 𝒞_{∙} \to 𝒞

를 갖는다.

만약 $𝒞$ 가 유한 쌍대 완비 범주라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자

(-)_{+} : 𝒞 \to 𝒞_{∙}

(-)_{+} : (X \in 𝒞) \mapsto X_{+} = (X ⊔ 1, 1 ↪ X ⊔ 1)

(-)_{+} ⊣ F

를 갖는다. 이를 밑점 추가(틀:Llang)라고 한다.

분쇄곱

$(𝒞, \otimes)$ 가 유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주라고 하자. 그렇다면 $𝒞_{∙}$ 역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. $𝒞_{∙}$ 에서의 텐서곱은 분쇄곱(틀:Llang) $\land$ 이라고 한다. 또한, 만약 $(𝒞, \otimes)$ 가 대칭 모노이드 범주라면 $(𝒞_{∙}, \land)$ 역시 대칭 모노이드 범주이다.

구체적으로, $𝒞_{∙}$ 속의 두 대상 $(X, ∙_{X})$ , $(Y, ∙_{Y})$ 의 분쇄곱 $(X, ∙_{X}) \land (Y, ∙_{Y})$ 은 다음과 같은 밂이다.

\begin{matrix} (X \otimes 1) ⊔ (1 \otimes Y) & \to & 1 \\ ↓ & ↓ \\ X \otimes Y & \to & X \land Y \end{matrix}

이 네모의 왼쪽 변은

\otimes ∙_{Y} : X \otimes 1 \to X \otimes Y

∙_{X} \otimes : 1 \otimes Y \to X \otimes Y

로부터 유도되는 사상

(\otimes ∙_{Y}) ⊔ (∙_{X} \otimes) : (X \otimes 1) ⊔ (1 \otimes Y) \to X \otimes Y

이다.

$𝒞_{∙}$ 에서의 지수 대상 $[-, -]_{∙}$ 은 다음과 같은 당김이다.

\begin{matrix} [X, Y]_{∙} & \to & 1 \\ ↓ & ↓ ∙_{Y} \\ [X, Y] & \to_{\circ ∙_{X}}^{} & [1, Y] \end{matrix}

$[X, Y]_{∙}$ 의 점은 유일한 사상 $X \to 1 \overset{∙_{Y}}{\to} Y$ 에 대응한다.

예

점을 가진 집합

집합의 범주에서, 시작 대상은 한원소 집합이다. 따라서, 점을 가진 집합(틀:Llang)의 범주 ${Set}_{∙}$ 의 원소는 집합 $S$ 와 그 속의 원소 $∙_{S} \in S$ 의 순서쌍 $(S, ∙_{S})$ 이다.

점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)