리 대수 아이디얼

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 리 대수 아이디얼(Lie代數ideal, 틀:Llang)은 몫을 취할 수 있는 리 대수의 부분 리 대수이다. 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념이다.

정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 $(𝔤,[-,-])$의 부분 리 대수(部分Lie代數, 틀:Llang) $𝔥$는 리 괄호에 대하여 닫힌 $K$-부분 가군이다. 즉, $𝔥\subset 𝔤$이며 $[𝔥,𝔥]\subset 𝔥$이다.

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 부분 집합 $I\subseteq 𝔤$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 리 대수 아이디얼(틀:Llang)이라고 한다.

• $K$-부분 가군이며, $[𝔤,I]\subseteq I$이다.
• $\ker \varphi =I$인 리 대수 준동형 $\varphi :𝔤\to 𝔥$가 존재한다.

리 대수 아이디얼에 대하여, 몫 리 대수(틀:Llang) $𝔤/I$를 정의할 수 있다.

리 초대수의 경우

틀:참고 위의 개념들은 리 초대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환 $K$ 위의 리 초대수 $(𝔤,[-,-\})$의 부분 리 초대수(部分Lie初代數, 틀:Llang) $𝔥\subseteq 𝔤$는 리 초괄호에 대하여 닫힌 $K$-부분 가군이다. 즉,

$[𝔥,𝔥\}\subseteq 𝔥$

이다.

가환환 $K$ 위의 리 초대수 $(𝔤,[-,-\})$의 아이디얼(틀:Llang) $𝔥\subseteq 𝔤$는 다음 조건을 만족시키는 $K$-부분 가군이다.

• $[𝔤,𝔥\}\subseteq 𝔥$

즉, $𝔤={𝔤}_0\oplus {𝔤}_1$이라고 할 때,

• ${𝔥}_0\subseteq {𝔤}_0$는 리 대수 ${𝔤}_0$의 아이디얼이다.
• ${𝔥}_1\subseteq {𝔤}_1$는 ${𝔤}_0$의 표현을 이루며 ($[{𝔤}_0,{𝔥}_1\}\in {𝔥}_1$), 또한 $\{{𝔤}_1,{𝔥}_1\}\subseteq {𝔥}_1$을 만족시킨다.

L∞-대수의 경우

틀:참고 위의 개념들은 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환 $K$ 위의 L∞-대수 $𝔤$의 부분 L∞-대수(部分L∞-代數, 틀:Llang) $𝔥\subseteq 𝔤$는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차 $K$-부분 가군이다. 즉,

$[\stackrel{k}{\overbrace{𝔥,𝔥,\dots ,𝔥}}{]}_k\subseteq 𝔥(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$

${\mathrm{proj}}_n(𝔥)\subseteq 𝔥(n\in \mathbb{N})$

이다. 여기서 ${\mathrm{proj}}_n$은 등급 $n$의 성분을 취하는 사영 함수이다.

가환환 $K$ 위의 L∞-대수 $𝔤$의 아이디얼(틀:Llang) $𝔥\subseteq 𝔤$는 다음 조건을 만족시키는 $K$-부분 가군이다.

$[𝔥,\stackrel{k}{\overbrace{𝔤,𝔤,\dots ,𝔤}}{]}_k\subseteq 𝔥(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$

${\mathrm{proj}}_n(𝔥)\subseteq 𝔥(n\in \mathbb{N})$

특히, $k=1$일 때 이 조건은

$\mathrm{d}𝔥\subseteq 𝔥$

이다. 즉, $𝔥$는 $𝔤$의 부분 공사슬 복합체를 이룬다.

성질

함의 관계

모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆ $K$-부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군 ⊆ 부분 집합

다른 성질과의 관계

표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수 $𝔤$에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다.

리 대수의 종류	리 대수 아이디얼을 통한 정의
단순 리 대수	정확히 두 개의 아이디얼 (즉, $\{0\}\ne 𝔤$)을 가지며, 아벨 리 대수가 아님
반단순 리 대수	아벨 아이디얼은 $\{0\}$ 밖에 없음
아벨 리 대수	모든 $K$-부분 가군이 리 대수 아이디얼임
$\{0\}$	정확히 한 개의 아이디얼을 가짐

예

자명한 리 대수 아이디얼

모든 리 대수 $𝔤$에 대하여, $\{0\}\subseteq 𝔤$과 $𝔤\subseteq 𝔤$는 (자명하게) $𝔤$의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

$𝔤/\{0\}\cong 𝔤$

$𝔤/𝔤\cong \{0\}$

직합 성분

같은 가환환 위의 두 리 대수 $𝔤$, $𝔥$의 직합 $𝔤\oplus 𝔥$에서, $𝔤\oplus 0,0\oplus 𝔥\subseteq 𝔤\oplus 𝔥$는 각각 $𝔤\oplus 𝔥$의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

$\frac{𝔤\oplus 𝔥}{𝔤}\cong 𝔥$

$\frac{𝔤\oplus 𝔥}{𝔥}\cong 𝔤$

리 대수 중심

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 중심(中心, 틀:Llang) $\mathrm{Z}(𝔤)$은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.

$\mathrm{Z}(𝔤)=\{x\in 𝔤:[x,𝔤]=0\}$

이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.

유도 리 대수

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$가 주어졌을 때, 부분 공간

$[𝔤,𝔤]=\{[x_1,y_1]+\cdots +[x_n,y_n]:n\in \mathbb{N},x_1,x_2,\dots ,x_n,y_1,y_2,\dots ,y_n\in 𝔤\}\subseteq 𝔤$

는 $𝔤$의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를 $𝔤$의 유도 리 대수(틀:Llang)라고 한다.

리 대수 근기

틀:본문 리 대수 근기는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용
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