매끄러운 함수

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 매끄러운 함수(틀:Llang)는 무한 번 미분이 가능한 함수이다. $C^{\mathrm{\infty }}$ 함수로 표기하기도 한다.

만약 함수가 매끄럽고 모든 점에서의 테일러 급수 값이 함수값과 같을 경우에는 해석 함수가 된다.

함수의 미분가능성 계층

어떤 함수가 $k$번 미분가능하고 그 미분한 함수가 모두 연속일 경우, 그 함수를 $C^k$ 함수라고 부른다. 예를 들어, $C^0$는 연속인 함수를 의미하며, $C^1$는 연속 미분 가능한 함수, 즉 미분 가능하고 도함수가 연속 함수인 함수를 의미한다.

함수가 무한 번 미분가능할 경우 $C^{\mathrm{\infty }}$로 표기하며, 해석 함수일 경우는 $C^{\omega }$로 표기한다.

$C^k$ 집합은 $C^{k+1}$ 집합을 진부분집합으로 가지며, $C^{k+1}$에 속하지 않는 $C^k$ 함수가 존재한다. 마찬가지로 $C^k$는 $C^{\mathrm{\infty }}$를 진부분집합으로, $C^{\mathrm{\infty }}$는 $C^{\omega }$를 진부분집합으로 가진다.

예

$x\ge 0$이면 $f(x)=x$, $x<0$이면 $f(x)=0$. $C^0$이지만 $C^1$은 아닌 함수

$f(x)$가 $x$가 0 이상일 때 $f(x)=x$, 0보다 작을 때 $f(x)=0$일 경우, 이 함수는 연속함수이지만 $x=0$에서 미분값이 존재하지 않는다. 따라서 이 함수는 $C^0$이지만 $C^1$은 아니다.

매끄럽지만 해석적이지는 않은 함수

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-1/(1-x^2)}& \text{ if }|x|<1,\\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$

인 함수는 무한 번 미분이 가능하므로 매끄러운 함수이다. 하지만 $x=\pm 1$일 때 해석적이지 않고, 따라서 이 함수는 해석함수는 아니다.

성질

유클리드 공간의 열린 집합 $U\subset {ℝ}^n$에 대하여, ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(U;ℝ)$가 $U$ 위의 매끄러운 실수값 함수들의 집합이라고 하자.

이 공간 위에는 다음과 같은 일련의 반노름들이 주어진다. 모든 콤팩트 공간 $K\subset U$ 및 다중 지표 $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$에 대하여,

$\Vert f{\Vert }_{K,\alpha }=\underset{K}{\sup }|{\partial }^{\alpha }f|$

따라서, 이 반노름들을 사용하여 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(U;ℝ)$ 위에 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드