범주 (수학)

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 틀:대수 구조 범주론에서 범주(範疇, 틀:Llang)는 추상적인 구조와 이를 보존하는 변환의 개념을 형식화한 것이다. 수학의 각 분야를 범주를 통해 연구하는 분야를 범주론(範疇論, 틀:Llang)이라고 한다. 범주는 현대 수학의 거의 모든 분야에 나타나며, 수학의 여러 분야를 공통적인 언어로 다룰 수 있게 한다. 수학 밖에도, 범주론은 컴퓨터 과학과 수리물리학에서도 쓰인다.

정의

범주 $𝒞$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 대상(對象, 틀:Llang)들의 모임 $\mathrm{ob}(𝒞)$. 이 모임의 원소를 $𝒞$의 ‘대상’이라고 한다.
• 임의의 두 대상 $a,b\in \mathrm{ob}(𝒞)$에 대하여, $a$를 정의역으로, $b$를 공역으로 하는 사상(寫像, 틀:Llang)들의 모임 $\mathrm{hom}(a,b)$. $f\in \mathrm{hom}(a,b)$에 대하여 $f:a\to b$로 쓰고, $f$를 ‘$a$에서 $b$로 가는 사상’이라고 한다. $𝒞$의 사상의 모임을 $\mathrm{hom}(𝒞)$로 나타낸다.
• 임의의 세 대상 $a,b,c\in \mathrm{ob}(𝒞)$에 대하여, 이항 연산 $\mathrm{hom}(a,b)\times \mathrm{hom}(b,c)\to \mathrm{hom}(a,c)$. 이를 사상의 합성(合成, 틀:Llang)이라고 한다. $f:a\to b$와 $g:b\to c$의 합성은 $g\circ f$ 또는 $gf$ 등으로 나타낸다.
• 임의의 대상 $a\in \mathrm{ob}(𝒞)$에 대하여, 특별한 사상 ${\mathrm{id}}_a\in \mathrm{hom}(a,a)$. 이를 $a$의 항등 사상(恒等寫像, 틀:Llang)이라고 한다.

이 데이터는 다음의 조건들을 만족시켜야 한다.

• (결합 법칙) 임의의 대상 $a,b,c,d\in \mathrm{ob}(𝒞)$ 및 사상 $a\stackrel{f}{\to }b\stackrel{g}{\to }c\stackrel{h}{\to }d$에 대하여, $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
• (항등원) 임의의 대상 $a,b\in \mathrm{ob}(𝒞)$ 및 사상 $f:a\to b$에 대하여, ${\mathrm{id}}_b\circ f=f\circ {\mathrm{id}}_a=f$

작은 범주

틀:본문 범주 $𝒞$에 대하여, 다음을 정의한다.

• 만약 $\mathrm{ob}(𝒞)$와 $\mathrm{hom}(𝒞)$가 둘 다 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), $𝒞$를 작은 범주라고 한다.
• 만약 임의의 $X,Y\in \mathrm{ob}(𝒞)$에 대하여 $\mathrm{hom}(X,Y)$가 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), $𝒞$를 국소적으로 작은 범주(틀:Llang)라고 하며, 사상 모임을 사상 집합(寫像集合, 틀:Llang)이라고 한다.

작은 범주가 아닌 범주를 큰 범주(틀:Llang)라고 한다. 집합과 함수의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다.

만약 그로텐디크 전체를 사용하는 경우, 그로텐디크 전체 $𝒰$에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

• 만약 $\mathrm{ob}(𝒞)\in 𝒰$이며 $\mathrm{hom}(𝒞)\in 𝒰$인 경우, $𝒞$를 $𝒰$-작은 범주라고 한다.
• 만약 임의의 $X,Y\in \mathrm{ob}(𝒞)$에 대하여 $\mathrm{hom}(X,Y)\in 𝒰$인 경우, $𝒞$를 $𝒰$-국소적으로 작은 범주라고 한다.

반대 범주

범주 $𝒞$가 주어졌을 때, 다음과 같은 반대 범주(反對範疇, 틀:Llang) ${𝒞}^{\mathrm{op}}$를 정의할 수 있다.

• ${𝒞}^{\mathrm{op}}$의 대상은 $𝒞$의 대상과 같다.
• ${𝒞}^{\mathrm{op}}$에서, 대상 $X$에서 $Y$로 가는 사상은 $𝒞$에서, $Y$에서 $X$로 가는 사상이다. 즉, ${\mathrm{hom}}_{{𝒞}^{\mathrm{op}}}(X,Y)={\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,X)$이다.

반대 범주에서는 전사 사상이 단사 사상으로, 곱이 쌍대곱으로, 극한이 쌍대극한으로 바뀐다. 만약 모노이드나 군, 환을 하나의 대상을 갖는 범주로 간주할 경우, 반대 범주의 개념은 반대 모노이드 · 반대군 · 반대환의 개념의 일반화이다.

예

각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다.

기호	대상	사상	사상 합성	항등 사상
$\text{Set}$	집합	함수	함수의 합성	항등 함수
$\text{Ord}$	원순서 집합	단조함수	함수의 합성	항등 함수
$\text{Mag}$	마그마	마그마 준동형	함수의 합성	항등 준동형
$\text{Grp}$	군	군 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
$\text{Ab}$	아벨 군	군 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
$\text{Ring}$	환	환 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
$\text{CRing}$	가환환	환 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
$\text{Rng}$	유사환	유사환 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
$R\text{-Mod}$ ($R$은 환)	$R$ 위의 (왼쪽) 가군	(왼쪽) 가군 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
${\text{Vect}}_K$ ($K$는 체)	$K$ 위의 벡터 공간	선형 변환	함수의 합성	항등 선형 변환
$\text{Top}$	위상 공간	연속 함수	함수의 합성	항등 함수
${\text{Man}}^{\mathrm{\infty }}$	매끄러운 다양체	매끄러운 함수	함수의 합성	항등 함수
$\text{Cat}$	작은 범주	함자	함자의 합성	항등 함자
$\text{Rel}$	집합	관계	$a\mathrm{(}{\mathrm{\sim }}_{\mathrm{2}}\mathrm{\circ }{\mathrm{\sim }}_{\mathrm{1}}\mathrm{)}b⟺\mathrm{\exists }c:a{\sim }_{1}c{\sim }_{2}b$	등호 $=$
부분 순서 집합 $(P,\le )$	$P$의 원소	$x\le y$이면 $\mathrm{hom}(x,y)=\{(x,y)\}$, 아니면 $\mathrm{hom}(x,y)=\varnothing$	$(y,z)\circ (x,y)=(x,z)$	${\mathrm{Id}}_x=(x,x)$
모노이드 $(M,\cdot ,1_M)$	$\mathrm{ob}(M)=\{\bullet \}$ (임의의 유일한 대상)	$M$의 원소	모노이드 이항 연산 $m\circ n=m\cdot n$	모노이드 항등원 $1_M$
${𝒞}^{\mathrm{op}}$ ($𝒞$는 임의의 범주)	$𝒞$의 대상	${\mathrm{hom}}_{{𝒞}^{\mathrm{op}}}(X,Y)={\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,X)$	$f{\circ }_{{𝒞}^{\mathrm{op}}}g=g{\circ }_{𝒞}f$	$𝒞$의 항등 사상
${𝒟}^{𝒞}$ ($𝒞$, $𝒟$는 임의의 범주)	$𝒞$에서 $𝒟$로 가는 함자	함자들 사이의 자연 변환	자연 변환의 합성	항등 자연 변환
$\mathrm{𝟘}$	없음 (공집합)	없음 (공집합)
$\mathrm{𝟙}$	$\bullet$ (하나의 대상)	${\mathrm{id}}_{\bullet }$ (하나의 사상)	­	${\mathrm{id}}_{\bullet }$
$\mathrm{𝟚}$	$\{0,1\}$ (두 개의 대상)	$a:0\to 1$, ${\mathrm{id}}_0$, ${\mathrm{id}}_1$ (세 개의 사상)		${\mathrm{id}}_0$, ${\mathrm{id}}_1$

역사

범주의 개념은 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1942~1945년 사이에 대수적 위상수학에서 영감을 얻어 도입하였다. 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

같이 보기

• 함자 (수학)
• 자연 변환

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:저널 인용