곱 (범주론)

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 곱(틀:Llang)은 곱집합이나 곱공간의 개념을 일반화한 개념이다. 항등사상 이외의 사상을 포함하지 않는 그림의 극한이다.

정의

범주 $𝒞$ 의 대상의 집합 ${X_{i}}_{i \in I}$ 를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 곱은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 $Y \in ob (𝒞)$ 와 사상 $f_{i} : Y \to X_{i}$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 $f : Y \to X$ 가 존재한다.

π_{i} f = f_{i}

.

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 $f$ 가 존재한다.

이 때, $X$ 를 곱이라 부르고 $\prod_{i \in I} X_{i}$ 로 표현한다.

틀:본문 대상 $X$ 와 기수 $κ$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $κ$ 개의 $X$ 들의 곱 $X^{\times κ}$ 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 ${id}_{X}$ 로부터 유도되는 사상

{diag}_{X} : X \to X^{\times κ}

이 존재한다. 이를 대각 사상(對角寫像, 틀:Llang)이라고 한다.

각종 범주에서의 곱은 다음과 같다.

범주	곱
집합의 범주 $Set$	곱집합 $A \times B$
위상 공간의 범주 $Top$	곱공간 $A \times B$
군의 범주 $Grp$	직접곱 $A \times B$
아벨 군의 범주 $Ab$	직접곱 $A \times B$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
체 $K$ 에 대한 벡터 공간의 범주 $K - Vect$	직접곱 $A \times_{k} B$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
환 $R$ 에 대한 왼쪽 가군의 범주 $R - Mod$	직접곱 $A \times_{R} B$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
집합과 이항관계의 범주 $Rel$	분리합집합 $A ⊔ B$