대수 (환론)

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 대수(代數, 틀:Llang)는 쌍선형 곱셈을 갖춘 가군이다. 호환되는 환과 가군 구조를 갖춘 대수 구조에서 곱셈 항등원과 곱셈 결합 법칙을 생략하여 얻는다.

정의

가환 유사환 $R$ 위의 대수 $(A,+,\{r\cdot {\}}_{r\in R},*)$는 다음 공리들을 만족시키는 대수 구조다.

• $(A,+,\{r\cdot {\}}_{r\in R})$는 $R$의 가군이다.
• $*:A\times A\to A$는 쌍선형 이항 연산이다.
  • (분배 법칙) 임의의 $a,b,c,d\in A$에 대하여, $(a+b)*(c+d)=a*c+a*d+b*c+b*d$
  • 임의의 $r\in R$ 및 $a,b\in A$에 대하여, $r\cdot (a*b)=(r\cdot a)*b=a*(r\cdot b)$

결합 법칙을 만족시키는 대수를 결합 대수(틀:Llang), 교환 법칙을 만족시키는 대수를 가환 대수(틀:Llang)라고 한다.

예

비교적 자주 접하는 대수들은 다음이 있다.

• 결합 대수
  • 호프 대수
  • 환에 대한 행렬 대수
  • 사원수 대수
  • 클리퍼드 대수
• 결합 대수가 아닌 대수
  • 팔원수와 십육원수
  • 리 대수는 결합 법칙을 따르지 않지만, 야코비 항등식이라는 법칙을 따른다. 리 대수의 보편 포락 대수는 결합 법칙을 따른다.
  • 요르단 대수는 비결합 가환대수다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드