완전열

틀:위키데이터 속성 추적 호몰로지 대수학에서 완전열(完全列, 틀:Llang)은 한 사상의 상이 다음 사상의 핵과 일치하는, 사상들과 대상들로 구성된 열이다.

정의

핵과 여핵을 가지는 범주에서 완전열은 다음과 같은 꼴의 대상들과 사상들로 구성된다.

\dots \to A_{i - 1} \overset{f_{i - 1}}{\to} A_{i} \overset{f_{i}}{\to} A_{i + 1} \overset{f_{i + 1}}{\to} A_{i + 2} \to \dots

이 열이 완전열을 이루려면, 인접한 사상들 각각에 대해 뒷쪽 사상의 핵과 앞쪽 사상의 상이 일치하여야 한다.

im f_{i - 1} = \ker f_{i}

즉,

coker f_{i - 1} = A_{i} / \ker f_{i}

이어야 한다.

모든 아벨 범주 (아벨 군의 범주 등)에서는 핵과 여핵이 존재하므로, 완전열을 정의할 수 있다. 군의 범주 $Grp$ 는 아벨 범주가 아니지만 핵과 여핵이 존재하므로, 이 범주에서도 역시 완전열을 정의할 수 있다.

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 다음 명제들이 성립한다.

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 짧은 완전열(틀:Llang)은 다음과 같은 모양의 완전열이다.

0 \to A \overset{f}{\to} B \overset{g}{\to} C \to 0

여기서, $f$ 는 단사 사상이며 $g$ 는 전사 사상이다. 이 경우, 다음과 같은 동형이 성립한다.

C ≅ B / A

아벨 군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열을 생각하자.

0 \to ℤ \overset{2 \cdot}{\to} ℤ \overset{mod 2}{\to} ℤ / 2 ℤ \to 0

여기에서 0은 자명군이고, $ℤ$ 에서 $ℤ$ 로 가는 사상은 2배를 곱하는 것이고, $ℤ$ 에서 $ℤ / 2 ℤ ≃ {0, 1}$ 은 정수를 modulo 2로 정의한 것이다. 인접한 사상을 각각 살펴보면 이것이 완전열임을 알 수 있다.

사상 $0 \to ℤ$ 의 상은 자명군이고, $\cdot 2 : ℤ \to ℤ$ 에 대한 핵(두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합) 또한 자명군이다. 따라서 첫 번째 $ℤ$ 에서 열은 완전열이다.
$\cdot 2 : ℤ \to ℤ$ 의 상은 짝수의 부분군 $2 ℤ$ 이며, $mod 2 : ℤ \to ℤ$ 의 핵 또한 짝수의 부분군 $2 ℤ$ 이다. 따라서, 두 번째 $ℤ$ 에 대해서도 완전열이다.
$mod 2 : ℤ \to ℤ$ 에 대한 상은 $ℤ / 2 ℤ$ 이고, 0으로 가는 상의 핵도 $ℤ / 2 ℤ$ 이기 때문에, 열은 $ℤ / 2 ℤ$ 에서도 완전열이다.