2차원 실수 특수선형군

틀:위키데이터 속성 추적 2차원 실수 특수선형군(二次元實數特殊線型群, 틀:Llang) $\mathrm{SL}(2;ℝ)$는 수학과 물리학에 자주 등장하는 3차원 리 군이다. 2×2 행렬군으로, 또는 실수 선형 분수 변환군으로, 또는 3차원 민코프스키 공간의 로런츠 군으로 여길 수 있다.

정의

다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.

• 2×2 실수 특수선형군 $\mathrm{SL}(2;ℝ)$
• 2×2 실수 심플렉틱 군 $\mathrm{Sp}(2;ℝ)$
• 부정부호 특수 유니터리 군 $\mathrm{SU}(1,1)$
• 분할 사원수 대수(틀:Llang) $(\bigwedge (iℝ\oplus jℝ\oplus kℝ))/(ij-k,jk+i,ki-j)$에서, 절댓값을 $|a+ib+jc+kd{|}^2=a^2+b^2-c^2-d^2$로 정의하면, 단위 분할 사원수들의 곱셈군
• 3차원 스핀 군 ${\mathrm{Spin}}^{+}(2,1)$

다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.

• 2×2 실수 사영 특수선형군 $\mathrm{PSL}(2;ℝ)$. 이는 $\mathrm{SL}(2;ℝ)$에서, 중심 $\{\pm 1_{2\times 2}\}$에 대한 몫군이다.
• 복소수 단위 원판 $𝔻=\{z\in ℂ:|z|<1\}$의 등각 자기 동형군 $\mathrm{Aut}(𝔻)$
• 뫼비우스 변환 $\mathrm{PSL}(2;ℂ)$ 가운데, 복소수 상반평면 $ℍ=\{z\in ℂ:\mathrm{Im}z>0\}$을 보존하는 부분군
• 실수 사영 직선 ${ℝ\mathbb{P}}^1=ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$의 방향 보존 사영 변환군
• 3차원 로런츠 군의 연결 성분 ${\mathrm{SO}}^{+}(2,1)$

실수 사영 직선 위의 작용

$\mathrm{PSL}(2;ℝ)$는 실수 사영 직선 ${ℝ\mathbb{P}}^1=ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ 위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다.

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}\to ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$

상반평면 위의 작용

$\mathrm{PSL}(2;ℝ)$는 복소수 상반평면 $ℍ=\{z\in ℂ:\mathrm{Im}z>0\}$ 위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다.

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):ℍ\to ℍ$

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$

이를 상반평면의 경계인 실수축에 국한하면, 실수 사영 직선 위의 작용을 얻는다.

딸림표현

$\mathrm{PSL}(2;ℝ)$는 3차원 리 군이며, 따라서 ${ℝ}^3$ 위에 딸림표현을 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

$\mathrm{PSL}(2;ℝ)\hookrightarrow \mathrm{GL}(3;ℝ)$

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{ccc}{a}^2& 2ac& c^2\\ ab& ad+bc& cd\\ b^2& 2bd& d^2\end{array}\right)$

이는 단사 함수이다.

$\mathrm{PSL}(2;ℝ)$의 킬링 형식의 부호수는 (2,1)이며, 따라서 이는 $\mathrm{PSL}(2;ℝ)$와 로런츠 군 ${\mathrm{SO}}^{+}(2,1)$ 사이의 동형을 정의한다.

성질

켤레류

$\mathrm{SL}(2;ℝ)$의 임의의 원소 $M\in \mathrm{SL}(2;ℝ)$는 다음 원소들 가운데 정확히 하나와 켤레 원소이다.

• $|\mathrm{tr}M|<2$인 경우: $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$, $\theta \in [0,2\pi )$. 이러한 경우를 타원형 원소(楕圓型元素, 틀:Llang)라고 한다.
• $\mathrm{tr}M=\pm 2$인 경우: $\pm \left(\begin{array}{cc}1& s\\ 0& 1\end{array}\right)$, $s\in \{-1,0,+1\}$. 이러한 경우를 포물선형 원소(抛物線型元素, 틀:Llang)라고 한다.
• $\pm \mathrm{tr}M>2$인 경우: $\pm \mathrm{diag}(\exp (t),\exp (-t))$,$t\in {ℝ}^{+}$. 이러한 경우를 쌍곡선형 원소(雙曲線型元素, 틀:Llang)라고 한다.

대수학적 성질

$\mathrm{SL}(2;ℝ)$는 비가산 군이며, 아벨 군이 아니다.

$\mathrm{SL}(2;ℝ)$의 중심은 $\{\pm 1_{2\times 2}\}$이며, 이에 대한 몫군 $\mathrm{PSL}(2;ℝ)$는 단순군이다. $\mathrm{PSL}(2;ℝ)$의 이산 부분군은 푹스 군이라고 하며, 모듈러 군 $\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})$이 대표적인 예이다.

원군 $\mathrm{SO}(2)$는 $\mathrm{PSL}(2;ℝ)\cong {\mathrm{SO}}^{+}(2,1)$의 극대 콤팩트 부분군이다. 마찬가지로, 이보다 두 겹 더 큰 원군은 $\mathrm{SL}(2;ℝ)$의 극대 콤팩트 부분군이다.

위상수학적 성질

$\mathrm{PSL}(2;ℝ)$와 $\mathrm{SL}(2;ℝ)$는 둘 다 연결 3차원 매끄러운 다양체이며, 콤팩트 공간이 아니다.

위상수학적으로, $\mathrm{PSL}(2;ℝ)$는 상반평면 $ℍ$의 접다발 $Tℍ$ 속의 단위 벡터로 구성되는 원다발의 전체 공간과 위상동형이다. $\mathrm{SL}(2;ℝ)$는 이 원다발의 두 겹 피복 공간이며, 일종의 스피너 다발로 생각할 수 있다.

$ℍ$는 축약 가능 공간이며, 따라서 $\mathrm{PSL}(2;ℝ)$와 $\mathrm{SL}(2;ℝ)$는 원 ${𝕊}^1$과 호모토피 동치이다. 즉, 그 호모토피 군은 다음과 같다.

${\pi }_n(\mathrm{PSL}(2;ℝ)\cong {\pi }_n(\mathrm{SL}(2;ℝ))\cong \{\begin{array}{cc}1& n\ne 1\\ \mathbb{Z}& n=1\end{array}$

범피복 공간 $\widetilde{\mathrm{SL}(2;ℝ)}$에 왼쪽 곱셈 불변 리만 계량을 부여한다면, 이는 기하화 추측에 등장하는 8개의 기하 가운데 하나를 이룬다.

표현론

유한 차원 표현

$\mathrm{SL}(2;ℝ)$의 유한 차원 표현론은 $\mathrm{SU}(2)$의 유한 차원 표현론과 동형이다. 즉, 각 음이 아닌 정수 $n=0,1,\dots$에 대하여 $2n+1$차원 기약 표현이 존재한다. 이 표현들은 ($n=0$인 자명 표현을 제외하면) 모두 유니터리 표현이 아니다.

무한 차원 표현

$\mathrm{SL}(2;ℝ)$의 무한 차원 표현론은 $\mathrm{SU}(2)$의 경우와 전혀 다르다. $\mathrm{SL}(2;ℝ)$의 무한 차원 기약 허용 표현(틀:Llang)은 완전히 분류되었고, 다음과 같다.

• 모든 0이 아닌 정수 $\mu \in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$에 대하여, 이산열 표현(離散列表現, 틀:Llang) $D_{\mu }$
• 이산열 표현의 극한 $D_{+0}$, $D_{-0}$
• 주열 표현(主列表現, 틀:Llang) $I_{ϵ,\mu }$, $\mu \in ℂ$, $ϵ\in \{\pm 1\}$, $ϵ\ne -(-1{)}^{\mu }$. $I_{ϵ,\mu }$는 $I_{ϵ,-\mu }$와 동형이다.

이들 가운데 유니터리 표현인 것은 다음과 같다.

• 모든 이산열 표현 $D_{\mu }$ 및 극한 $D_{\pm 0}$
• 주열 표현 $I_{\pm ,i\mu }$, $\mu \in ℝ$
• 주열 표현 $I_{+,\mu }$, $0<|\mu |<1$

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 뫼비우스 변환
• 모듈러 군
• 푹스 군
• 3차원 직교군