교환자 (환론)

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틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 교환자(交換子, 틀:Llang)와 반교환자(反交換子, 틀:Llang)는 두 원소 사이의 (반)교환 법칙이 실패하는 정도를 측정하는 이항 연산이다. 교환자의 기호는 [−,−]이며, 반교환자의 기호는 {−,−}이다.

정의

환 R의 두 원소 a,b∈R가 주어졌다고 하자. 그 교환자는 다음과 같다.

[a,b]=ab−ba∈R

그 반교환자는 다음과 같다.

{a,b}=ab+ba∈R

만약 R의 표수가 2 또는 1이라면 교환자와 반교환자는 일치한다. 만약 교환자와 반교환자를 동등하게 다루어야 하는 경우, 간혹 위 기호 대신

[a,b]±=ab±ba

가 사용되기도 한다.

등급 대수

가환환 K 위의 자연수 등급 대수

A=⨁i∈ℕAi

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 등급 교환자(等級交換子, 틀:Llang)를 정의할 수 있다.

[a,b]gr=ab−(−1)deg⁡adeg⁡bba

이 연산은 간혹 대신 [−,−}로 표기되기도 한다.

성질

교환자는 다음과 같은 성질을 가진다.

정의에 따라, 임의의 환 R의 두 원소 r,s∈R에 대하여, rs=sr가 성립할 필요 충분 조건은 [r,s]=0인 것이다. 마찬가지로, 임의의 두 원소 r,s∈R에 대하여, rs=−sr가 성립할 필요 충분 조건은 {r,s}=0인 것이다.

선형성

환 K 위의 결합 대수 R 위의 교환자와 반교환자는 K-겹선형 변환을 이룬다. 즉, (반)교환자는 다음과 같은 K-가군 준동형을 정의한다.

[,]:R⊗KR→R
{,}:R⊗KR→R

특히, 임의의 r∈R에 대하여 K-가군 준동형

[a,−]:R→R
{a,−}:R→R

이 존재한다. 특히, [a,−]의 경우 이는 교환자로 정의되는 리 대수 구조의 딸림표현이다.

리 대수 구조

교환자는 리 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

  • [r,r]=0∀r∈R
  • [r,s]=−[B,A]∀r,s∈R
  • (야코비 항등식) [r,[s,t]]+[s,[t,r]]+[t,[r,s]]=0∀r,s∈R

이에 따라, 가환환 K 위의 K-결합 대수가 주어졌을 때, 만약 곱 구조를 잊고 대신 교환자를 부여하면, 이는 K-리 대수를 이룬다.

반대로, 임의의 리 대수가 주어졌을 때, 그 리 괄호는 리 대수의 보편 포락 대수의 교환자로 표현된다.

미분 대수 구조

교환자는 미분 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

이에 따라, 임의의 원소 r∈R에 대하여 [r,−] (또는 [−,r])를 부여하면 R는 미분 대수를 이룬다.

기타 항등식

이 밖에도 다음 항등식이 성립한다.

  • [r,st]=[rs,t]+[ts,r]∀r,s,t∈R
  • [rst,u]=rs[t,u]+r[s,u]t+[r,u]st∀r,s,t,u∈R
  • [[[r,s],t],u]+[[[s,t],u],r]+[[[t,u],r],s]+[[[u,r],s],t]=[[r,t],[s,u]]∀r,s,t,u∈R

작용소의 경우

힐베르트 공간 위의 유계 작용소들의 환에서는 다음과 같은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식이 성립한다.

exp⁡(A)Bexp⁡(−A)=B+[A,B]+12![A,[A,B]]+13![A,[A,[A,B]]]+⋯

응용

힐베르트 공간에서의 두 연산자에 대한 교환자는 양자역학에서 중요한 개념중의 하나인데, 연산자로 기술되는 두 관측가능량이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이기 때문이다. 불확정성 원리는 이런 교환자에 대한 성질을 물리학적으로 해석한다.

참고 문헌

  • Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.), Prentice Hall, 틀:ISBN
  • Liboff, Richard L. (2002), Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 틀:ISBN

외부 링크

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