일반선형군

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 일반선형군(一般線型群, 틀:Llang)은 주어진 벡터 공간의 가역 선형 변환들이 이루는 군이다.

정의

체 $K$에 대한 벡터 공간 $V$의 일반선형군 $\mathrm{GL}(V)$은 가역 선형 변환 $M:V\to V$들의, 함수의 합성에 대한 군이다. 이는 $K$-대수군을 이룬다.

만약 $V$가 유한 차원 $V=K^n$일 경우, $\mathrm{GL}(V)$를 $\mathrm{GL}(n;K)$라고 쓴다. 이는 $n\times n$ $K$-가역행렬들의 군으로 여길 수 있다. 만약 $K$가 실수체 또는 복소수체인 경우, 이는 실수 또는 복소 리 군이다.

성질

실수 일반선형군

실수 일반선형군 $\mathrm{GL}(n;ℝ)$은 $n^2$차원 실수 리 군이다. 그 리 대수 $𝔤𝔩(n;ℝ)$는 $n\times n$ 실수 행렬들의 리 대수이다.

다양체로서, 실수 일반선형군 $\mathrm{GL}(n;ℝ)$은 콤팩트 공간 또는 연결 공간이 아니며, 두 개의 연결 성분을 갖는다. 이는 각각 행렬식이 양수인 성분과 음수인 성분이다. 단위원을 포함하는, 행렬식이 양수인 부분공간 ${\mathrm{GL}}^{+}(n;ℝ)$은 정규 부분군을 이루며, 이에 대한 몫군은 물론 $\mathbb{Z}/2$이다.

복소 일반선형군

복소 일반선형군 $\mathrm{GL}(n;ℂ)$은 복소 $n^2$차원 (실수 $2n^2$차원) 리 군이다. 그 리 대수 $𝔤𝔩(n;ℂ)$는 $n\times n$ 복소 행렬들의 리 대수이다.

다양체로서, 복소 일반선형군 $\mathrm{GL}(n;ℂ)$은 연결 공간이며, 콤팩트하지 않다. 그 기본군은

${\pi }_1(\mathrm{GL}(n,ℂ)\cong \mathbb{Z}$

이다.

유한체 일반선형군

유한체 ${𝔽}_q$의 경우, 간혹 $\mathrm{GL}(n;{𝔽}_q)$ 대신 $\mathrm{GL}(n;q)$로 쓰기도 한다. $\mathrm{GL}(n;{𝔽}_q)$의 크기는 다음과 같다.

$|\mathrm{GL}(n;{𝔽}_q)|=(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\dots (q^n-q^{n-1})$

같이 보기

• 유한단순군의 목록
• 2차원 실수 특수선형군

외부 링크

• 틀:Springer
• 틀:매스월드
• 틀:수학노트