비라소로 대수

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론과 이론물리학에서 비라소로 대수(Virasoro代數, 틀:Llang)는 원의 미분 동형 자기 동형군의 리 대수의 (유일하게 자명하지 않은) 중심 확대인 무한 차원 리 대수이다. 물리학에서, 2차원 등각 장론의 대칭으로 사용된다.

정의

대수적 구성

비라소로 대수 $𝔙𝔦𝔯$는 $L_n$ ($n\in \mathbb{Z}$)과 $c$로 인하여 생성되는 복소수 리 대수이며, 다음과 같은 리 괄호를 가진다.

$[𝖼,{𝖫}_n]=0$

$[{𝖫}_m,{𝖫}_n]=(m-n){𝖫}_{m+n}+\frac{𝖼}{12}(m+1)m(m-1){\delta }_{m+n}$

중심 원소 $c$가 0인 대수를 비트 대수(틀:Llang) $𝔚𝔦𝔱𝔱$라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적 형태로 볼 수 있다.

이에 따라, 복소수 리 대수의 짧은 완전열

$0\to ℂ𝖼\to 𝔙𝔦𝔯\to 𝔚𝔦𝔱𝔱\to 0$

이 존재한다.

비라소로 대수는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. (이는 복소수 벡터 공간 위의 반선형(틀:Llang) 사상이다.)

$\mathrm{i}\mapsto -\mathrm{i}$

${𝖫}_n\mapsto -{𝖫}_{-n}$

$𝖼\mapsto -𝖼$

이는 ${𝖫}_n$을 원 위의 벡터장

${𝖫}_n=-\mathrm{i}\exp (-\mathrm{i}nt)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$틀:Rp

으로 간주하여 유도한 것이다. 그렇다면, 이에 대한 고정점

${𝖫}_n-{𝖫}_{-n}$

$\mathrm{i}({𝖫}_n+{𝖫}_{-n})$

$\mathrm{i}𝖼$

을 생각하자. 이는 실수 리 대수

${𝔙𝔦𝔯}^{ℝ}⊊𝔙𝔦𝔯$

를 생성하며, 마찬가지로 실수 리 대수의 짧은 완전열

$0\to \mathrm{i}ℝ𝖼\to {𝔙𝔦𝔯}^{ℝ}\to {𝔚𝔦𝔱𝔱}^{ℝ}\to 0$

을 구성한다. 정의에 따라 자연스러운 포함 관계

${𝔚𝔦𝔱𝔱}^{ℝ}\hookrightarrow 𝔙𝔢𝔠𝔱({𝕊}^1)$

가 존재한다.

원을 통한 리 대수의 구성

1차원 매끄러운 다양체인 원 ${𝕊}^1$ 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수

$𝔙𝔢𝔠𝔱({𝕊}^1)$

를 생각하자. 이는 실수 프레셰 공간이다. 그 속에는 푸리에 급수로 인하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$ℂ[𝗓,{𝗓}^{-1}]\hookrightarrow 𝔙𝔢𝔠𝔱({𝕊}^1){\otimes }_{ℝ}ℂ$

$ℝ[𝗓+{𝗓}^{-1},\mathrm{i}(𝗓-{𝗓}^{-1})]\hookrightarrow 𝔙𝔢𝔠𝔱({𝕊}^1)$

$𝗓\mapsto \exp (𝗂t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t\in ℝ/(2\pi \mathbb{Z}))$

이는 다음과 같은 리 대수 코호몰로지 2차 공사슬을 갖는다.

$𝔙𝔢𝔠𝔱({𝕊}^1)\times 𝔙𝔢𝔠𝔱({𝕊}^1)\to ℝ$

$(f(t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t},g(t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t})\mapsto \oint \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\frac{{\mathrm{d}}^{2}g}{\mathrm{d}{t}^2}\mathrm{d}t=-\oint \frac{\mathrm{d}{f}^2}{\mathrm{d}{t}^2}\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t(f,g\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}({𝕊}^1,ℝ))$

이를 겔판트-푹스 공사슬(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 이에 대한 중심 확장

$0\to ℝ𝖼\to \widehat{𝔙𝔦𝔯}\to 𝔙𝔢𝔠𝔱({𝕊}^1)\to 0$

을 생각할 수 있다. $\widehat{𝔙𝔦𝔯}$ 역시 프레셰 공간이다.

$\widehat{𝔙𝔦𝔯}\otimes ℂ$ 속에서, $ℂ[𝗓,{𝗓}^{-1}]$과 $ℂ𝖼$로 생성되는 부분 리 대수를 비라소로 대수라고 한다.

$𝔙𝔦𝔯⊊\widehat{𝔙𝔦𝔯}$

원을 통한 리 군의 구성

1차원 매끄러운 다양체인 원 ${𝕊}^1$을 생각하자. 그 (매끄러운) 자기 미분 동형 사상들의 군

$\mathrm{Diff}({𝕊}^1)$

을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이룬다. 이는 두 개의 연결 성분을 가지는데, 만약 원에 임의의 방향을 부여하여 유향 다양체로 만든다면, 한 연결 성분은 방향을 보존하지만, 다른 한 연결 성분은 방향을 뒤집는다. 물론, 항등 함수는 전자에 속한다. 그 연결 부분군을 ${\mathrm{Diff}}^{+}({𝕊}^1)$이라고 하자.

이 경우, 그 실수 리 대수를 취할 수 있으며, 이는 실수 프레셰 공간이 된다. 구체적으로, 이는 원 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수 $𝔙𝔢𝔠𝔱({𝕊}^1)$이다.

프레셰 리 군 ${\mathrm{Diff}}^{+}({𝕊}^1)$은 특별한 1차원 중심 확대를 가지며, 기하학적으로 이는 리 군의 U(1) 주다발을 이룬다. 이는 다음과 같이 구성된다.틀:Rp틀:Rp

우선, 르베그 복소수 힐베르트 공간

$H={\mathrm{L}}^2({𝕊}^1;ℂ)\cong {\mathrm{L}}^2(\mathbb{Z};ℂ)$

을 생각하자. 여기서 동형 사상은 푸리에 급수에 의한 것이다. 이 가운데, 다음과 같은 부분 복소수 힐베르트 공간을 생각할 수 있다.

$H^{+}={\mathrm{L}}^2(\mathbb{N};ℂ)⊊{\mathrm{L}}^2(\mathbb{Z};ℂ)$

$H^{-}={\mathrm{L}}^2(\mathbb{Z}\setminus \mathbb{N};ℂ)⊊{\mathrm{L}}^2(\mathbb{Z};ℂ)$

$H=H^{+}+H^{-}\cong H^{+}\oplus H^{-}-$

(여기서 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots ,\}$은 자연수의 집합이다.) 즉, 이는 각각 음이 운동량 성분을 갖지 않는 파동 함수와 음의 운동량만을 갖는 파동 함수의 부분 공간들이다.

이제, $\mathrm{Diff}({𝕊}^1)$은 $H$ 위에 다음과 같은 유니터리 표현을 갖는다.

$\rho :\mathrm{Diff}({𝕊}^1)\to \mathrm{U}(H)$

$|f^{\prime }(\theta ){|}^{1/2}⟨f(\theta )|(\rho f)|\psi ⟩=⟨\theta |\psi ⟩(\theta \in ℝ/(2\pi \mathbb{Z}),\psi \in {𝒞}^1({𝕊}^1,ℂ)⊊H)$

그렇다면, 이제 다음과 같은 유니터리 작용소들의 부분 공간을 정의할 수 있다.틀:Rp틀:Rp

${\mathrm{U}}_{\mathrm{res}}(H^{+},H^{-})=\{\left(\begin{array}{cc}{T}_{++}& T_{+-}\\ T_{-+}& T_{--}\end{array}\right)\in \mathrm{U}(H^{+}\oplus H^{-}):T_{+-}\in {𝔖}_2(H^{-},H^{+}),T_{-+}\in {𝔖}_2(H^{+},H^{-})\}$

여기서

• ${𝔖}_2(H^{+},H^{-})$는 $H^{+}\to H^{-}$ 힐베르트-슈미트 작용소들의 공간이다.

이제, $H$를 어떤 양자장론의 위상 공간으로 삼고, $H=H^{+}\oplus H^{-}$를 그 심플렉틱 구조로 삼자. 그렇다면, 기하학적 양자화에 따라, 다음과 같은 페르미온 포크 공간을 얻는다.

$\mathscr{H}={(\bigwedge H^{+}+\otimes \bigwedge {\overline{H}}^{-})}^{\stackrel{}{^}}$

여기서

• $(-{)}^{\stackrel{}{^}}$은 내적 공간을 힐베르트 공간으로 만드는 완비화이다.
• ${\overline{H}}^{-}$는 $H^{-}$의 복소켤레 $a\overline{v}=\overline{\overline{a}v}(v\in H^{-})$이다.
• $\bigwedge$는 외대수이다.

기하학적 양자화에 따라, 자연스럽게 유계 작용소로의 표현

$\mathrm{\Phi }:H\to \mathrm{B}(\mathscr{H})$

가 존재한다. ($\mathrm{B}(\mathscr{H})$는 $\mathscr{H}\to \mathscr{H}$ 유계 작용소의 공간이다.) 이에 따라서, $H$ 위의 유니터리 작용소 $U\in \mathrm{U}(H)$가 다음과 같이 $\mathscr{H}$ 위에 $\tilde{U}\in \mathrm{U}(\mathscr{H})$로 표현될 수 있는지를 따질 수 있다.

$\tilde{U}\mathrm{\Phi }(v)=\mathrm{\Phi }(Uv)\tilde{U}\mathrm{\forall }f\in H$

이 경우, 위 조건을 만족시키는 $\tilde{U}$가 존재할 필요 충분 조건은 $U\in {\mathrm{U}}_{\mathrm{res}}(H^{+},H^{-})$인 것이다. 이러한 $\tilde{U}$는 노름 1의 복소수 스칼라 곱셈을 무시하면 유일하다. 따라서, 이와 같은 유니터리 연산자의 공간

${\tilde{\mathrm{U}}}_{\mathrm{res}}(H^{+},H^{-})=\{\tilde{U}\in \mathrm{U}(\mathscr{H}):\mathrm{\exists }U\in \mathrm{U}(H)\mathrm{\forall }f\in H:\tilde{U}\mathrm{\Phi }(v)=\mathrm{\Phi }(Uv)\tilde{U}\}$

을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열

$1\to \mathrm{U}(1)\to {\tilde{\mathrm{U}}}_{\mathrm{res}}(H^{+},H^{-})\to \mathrm{U}(H^{+},H^{-})\to 1$

을 이룬다.

이제, 단사 군 준동형

${\mathrm{Diff}}^{+}({𝕊}^1)\hookrightarrow {\mathrm{U}}_{\mathrm{res}}(H^{+},H^{-})$

을 통해 ${\tilde{\mathrm{U}}}_{\mathrm{res}}(H^{+},H^{-})$ 속에 부분군

$\widetilde{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}({𝕊}^1)⊊{\tilde{\mathrm{U}}}_{\mathrm{res}}(H^{+},H^{-})$

을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열

$1\to \mathrm{U}(1)\to {\widetilde{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}}^{+}({𝕊}^1)\to {\mathrm{Diff}}^{+}({𝕊}^1)\to 1$

을 이룬다. 이 짧은 완전열의 모든 항들은 프레셰 다양체이다.

이에 대한 실수 리 대수의 짧은 완전열을 취할 수 있다.

$0\to ℝ𝖼\to \widehat{𝔙𝔦𝔯}\to 𝔙𝔢𝔠𝔱({𝕊}^1)\to 0$

이 짧은 완전열의 각 항은 프레셰 공간이다.

특히, 복소수 리 대수 $\widehat{𝔙𝔦𝔯}\otimes ℂ$ 속에 다음과 같은 부분 집합

$\{𝖼\}\cup \{\exp (\mathrm{i}nt)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}:n\in \mathbb{Z}\}$

으로 생성되는 (대수적) 부분 리 대수

$𝔙𝔦𝔯⊊\widehat{𝔙𝔦𝔯}\otimes ℂ$

를 비라소로 대수라고 한다. $\widehat{𝔙𝔦𝔯}\otimes ℂ$는 비라소로 대수의 (프레셰 공간으로의) 완비화이며, ${\widetilde{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}}^{+}({𝕊}^1)$는 그 실수 형태에 대응되는 프레셰 리 군이다.

성질

유니터리 표현

비라소로 대수의 복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 표현

$\rho :𝔙𝔦𝔯\to \mathrm{B}(H)$

가운데, 만약 다음이 성립한다면, 이를 비라소로 대수의 유니터리 표현이라고 한다.

$\rho ({𝖫}_n{)}^{†}=\rho ({𝖫}_{-n})$

비라소로 대수의 유니터리 표현은 모두 기약 표현들의 직합으로 분해된다.

비라소로 대수의 아벨 부분 리 대수

${\mathrm{Span}}_{ℂ}\{{𝖫}_0,𝖼\}⊊𝔙𝔦𝔯$

를 생각하자. 각 기약 표현 $\rho$에서

$\rho (𝖼)\in [0,\mathrm{\infty }){\mathrm{id}}_H$

$\rho ({𝖫}_0)\in [0,\mathrm{\infty }){\mathrm{id}}_H$

이게 되며, 반대로 주어진 두 실수 $(c,h)=(\rho (𝖼),\rho ({𝖫}_0))$에 대응되는 기약 유니터리 표현은 (동형 아래) 유일하다. 주어진 $(c,h)$에 대응되는 기약 표현은 베르마 가군의 몫으로 구성될 수 있다.

비라소로 대수의 기약 유니터리 표현들의 목록은 다음과 같다.

• $c\ge 1$인 경우, 모든 $h\ge 0$에 대한 표현 $(c,h)$가 존재한다.
• $0\le c<1$인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다.

  $c=1-\frac{6}{m(m+1)}$

  $h=h(c;p,q)=\frac{((m+1)p-mq{)}^2-1}{4m(m+1)}$

  $m=2,3,4,\dots$

  $p=1,2,\dots ,m-1$

  $q=1,2,\dots ,p$

$0\le c<1$의 경우는 2차원 등각 장론의 일종인 최소 모형의 구성에 등장한다. 함수 $h(c;p,q)$는 다음과 같은 대칭을 가진다.

$h(c;p,q)=h(c;m-p,m+1-q)$

특히, $p=q=1$인 경우 $h=0$이며, 이는 2차원 등각 장론의 진공 또는 대칭류(틀:Llang)에 해당한다. (2차원 등각 장론은 두 개의 비라소로 대수 대칭을 갖는데, 진공의 경우 $h$가 둘 다 0이지만, 대칭류의 경우 둘 가운데 하나만이 0이다.) $m-1=p=q=1$인 경우는 $(c,h)=(0,0)$이며, 이는 1차원 자명한 표현에 해당한다.

비라소로 대수의 모든 기약 유니터리 표현은 $(c,h)=(0,0)$을 제외하면 무한 차원 표현이다. ($(c,h)=(0,0)$인 자명한 표현은 물론 1차원이다.)

복소수 비라소로 군의 부재

비라소로 대수의 실수 형태 ${𝔙𝔦𝔯}^{ℝ}$의 실수 프레셰 공간으로의 완비화는 어떤 프레셰 리 군의 리 대수이다. 그러나 이 리 군은 복소화될 수 없으며, 복소수 비트 대수와 복소수 비라소로 대수는 복소수 리 군의 리 대수가 될 수 없다.틀:Rp

리 지수 사상의 비(非)전사성

비트 대수의 지수 사상

$\exp :𝔙𝔢𝔠𝔱({𝕊}^1)\to \mathrm{Diff}({𝕊}^1)$

을 생각하자. 이는 존재하지만, 프레셰 다양체 $\mathrm{Diff}({𝕊}^1)$에서 항등 함수의 임의의 근방에서, $\exp$의 치역에 포함되지 않는 원소가 존재한다.틀:Rp틀:Rp

역사

엘리 카르탕이 1909년에 비트 대수를 발견하였고, 에른스트 비트가 이를 유한체의 경우에 대하여 1930년대에 연구하였다.

비트 대수의 중심 확장은 리처드 얼 블록(틀:Llang)과 이즈라일 겔판트, 드미트리 푹스(틀:Llang) (1968)가 발견하였다.

아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로(틀:Llang)가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다. 이후 그 중심 확장은 와이스 (틀:Llang)가 도입하였다.

같이 보기

• 등각 장론
• 2차원 𝒩=1 초등각 장론
• W-대수

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab