반직접곱

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 반직접곱(半直接-, 틀:Llang) 또는 반직적(半直積)은 두 군의 곱집합에 군의 구조를 부여하는 한 방법이다. 두 군의 직접곱을 일반화한 개념이다.

정의

$N$과 $H$가 군이라고 하자. $\mathrm{Aut}(N)$이 $N$의 자기동형사상군이라고 하고, $\varphi :H\to \mathrm{Aut}(N)$이 군 준동형이라고 하자. 즉, $H$는 $\varphi$를 통해 $N$ 위에 작용한다. 그렇다면 곱집합 $N\times H$에 다음과 같은 곱셈 연산을 정의하자.

$(n_1,h_1)\cdot (n_2,h_2)=(n_1{\varphi }_{h_1}(n_2),h_1{h}_2)$

이 연산은 군의 공리를 만족한다는 것을 확인할 수 있다. 집합 $N\times H$에 이 연산을 가진 구조를 $N$과 $H$의 $\varphi$를 통한 반직접곱 $N{⋊}_{\varphi }H$라고 한다.

성질

$G=N⋊H$라고 하자. 이 경우 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to N\to G\to H\to 1$.

즉, $H=G/N$이다.

반면, 그 역은 성립하지 않는다. 일반적으로 짧은 완전열이 존재하더라도 이를 항상 반직접곱으로 나타낼 수 있지는 않다. 예를 들어

$1\to {\mathbb{Z}}_2\to {\mathbb{Z}}_4\to {\mathbb{Z}}_2\to 1$

을 생각해 보자. $\mathrm{Aut}({\mathbb{Z}}_2)=1$이므로, 반직접곱 ${\mathbb{Z}}_2⋊{\mathbb{Z}}_2$은 항상 직접곱 ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$밖에 존재하지 않는다. 그러나 물론 ${\mathbb{Z}}_4\ne {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$이다.

충분 조건

슈어-차센하우스 정리(틀:Llang)에 따르면, 만약 유한군 $G$ 및 정규 부분군 $N$이 주어졌고, 만약 $|N|$과 $|G/N|$이 서로소라면 (즉, $N$이 홀 부분군이라면), $G$는 $N$과 $G/N$의 반직접곱이다. 이는 이사이 슈어와 한스 차센하우스가 증명하였다.

같이 보기

• 분할 완전열
• 직접곱

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:수학노트