반단순 리 대수

틀:위키데이터 속성 추적 리 대수 이론에서, 반단순 리 대수(半單純Lie代數, 틀:Llang)는 단순 리 대수들의 직합인 리 대수이다.

정의

체 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$ 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 단순 리 대수(單純Lie代數, 틀:Llang)라고 한다.^[1]틀:Rp

$𝔤$ 의 리 대수 아이디얼은 ${0}$ 과 $𝔤$ 전체 밖에 없다.
$𝔤$ 는 아벨 리 대수가 아니다. 즉, $[x, y] \neq 0$ 인 $x, y \in 𝔤$ 가 존재한다.

$K$ 의 표수가 0이라고 하고, $𝔤$ 가 $K$ 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 반단순 리 대수라고 한다.

$𝔤$ 의 가해(틀:Llang) 아이디얼은 ${0}$ 밖에 없다. 즉, $𝔤$ 의 근기(틀:Llang)가 $\sqrt{𝔤} = {0}$ 이다.^[1]틀:Rp
$𝔤$ 의 아벨 아이디얼은 ${0}$ 밖에 없다.
$𝔤$ 는 단순 리 대수들의 직합이다.
(카르탕 반단순성 조건 틀:Llang) $𝔤$ 의 킬링 형식 $K (x, y) = {tr}_{K} ad (x) ad (y)$ 는 비퇴화 쌍선형 형식이다.^[1]틀:Rp

반단순 리 군

반단순 리 군(半單純Lie群, 틀:Llang)은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다.^[1]틀:Rp 마찬가지로, 단순 리 군(單純Lie群, 틀:Llang)은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.

분류

복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라 $A_{n}$ , $B_{n}$ , $C_{n}$ , $D_{n}$ , E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 복소수체 위의 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다. 이렇게 유한한 수의 무한한 족과 예외적 대상으로 분류하는 것은 유한 단순군의 분류와 유사하지만, (반)단순 리 대수의 분류는 유한 단순군의 경우보다 훨씬 더 간단하며, 고전적으로 증명할 수 있다.

복소수 단순 리 대수

복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 단순 리 대수의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다.

모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.

$𝔞_{k} = 𝔰 𝔩 (k + 1, ℂ) = 𝔰 𝔲 (k + 1) \otimes ℂ$ , $k = 1, 2, \dots$ (복소 무대각합(無對角合, 틀:Lang) 행렬 대수)
$𝔟_{k} = 𝔰 𝔬 (2 k + 1, ℂ)$ , $k = 2, 3, \dots$ (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
$𝔠_{k} = 𝔰 𝔭 (2 k, ℂ)$ , $k = 2, 3, \dots$ (복소 해밀턴 행렬(틀:Lang) 대수)
$𝔡_{k} = 𝔰 𝔬 (2 k, ℂ)$ , $k = 4, 5, \dots$ (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
𝖊₆, 𝖊₇, 𝖊₈
𝖋₄
𝖌₂

이 가운데, 처음 네 가지를 고전적(틀:Llang), 나머지를 예외적(틀:Llang)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.

실수 단순 리 대수

대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 반단순 리 대수 $𝔤$ 의 경우, 우선 그 대수적 폐포 $\bar{K}$ 위의 대수 $𝔤 \otimes_{K} \bar{K}$ 를 분류한 뒤, 이를 $\bar{K}$ 에서 $K$ 로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다.

실수체 $K = ℝ$ 의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 복소화(틀:Llang) $𝔤 \mapsto 𝔤 \otimes ℂ$ 라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은 실수 형식(틀:Llang)이라고 한다.

실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 전사 함수지만, 단사 함수는 아니며, 그 원상은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.

목록

복소수 및 실수 단순 리 대수들은 다음과 같다.

복소수 리 대수	차원	실수 리 대수	로마 숫자 표기	다른 이름	극대 콤팩트 부분 리 대수
A_n	$n^{2} + 2 n$	A_{n(−n²−2n)} (콤팩트)		$𝔰 𝔲 (n + 1; ℝ)$	$𝔰 𝔲 (n + 1)$
		A_n(n) (분할)	AⅠ	$𝔰 𝔩 (n + 1; ℝ)$	$𝔬 (n + 1)$
		A_n(−n−2)	AⅡ	$𝔰 𝔩 (m; ℍ)$ , ${𝔰 𝔲}^{*} (2 m)$ ( $2 m - 1 = n$ )	$𝔲 𝔰 𝔭 (2 m)$
			AⅢ	$𝔰 𝔲 (p, q)$ ( $p + q = n + 1$ )	$𝔰 𝔲 (p) \oplus 𝔰 𝔲 (q) \oplus 𝔲 (1)$
B_n	$2 n^{2} + n$	B_{n(−2n²−n)} (콤팩트)		$𝔬 (2 n + 1; ℝ)$	$𝔬 (2 n + 1)$
		B_n(n) (분할)	BⅠ	$𝔬 (n, n + 1; ℝ)$	$𝔬 (n) \oplus 𝔬 (n + 1)$
			BⅡ	$𝔬 (p, q + 1; ℝ)$ ( $p + q = n$ )	$𝔬 (p) \oplus 𝔬 (q)$
C_n	$2 n^{2} + n$	C_{n(−2n²−n)} (콤팩트)		$𝔲 𝔰 𝔭 (2 n)$ , $𝔲 (n; ℍ)$	$𝔲 𝔰 𝔭 (2 n)$
		C_n(n) (분할)	CⅠ	$𝔰 𝔭 (2 n; ℝ)$	$𝔰 𝔲 (n) \oplus 𝔲 (1)$
			CⅡ	$𝔲 𝔰 𝔭 (2 p, 2 q)$ ( $p + q = n$ )	$𝔲 𝔰 𝔭 (2 p) \oplus 𝔲 𝔰 𝔭 (2 q)$
D_n	$2 n^{2} - n$	D_n(−2n²+n) (콤팩트)		$𝔬 (2 n; ℝ)$	$𝔬 (2 n)$
		D_n(n) (분할)	DⅠ	$𝔬 (n, n; ℝ)$	$𝔬 (n) \oplus 𝔬 (n)$
			DⅡ	$𝔬 (p, q; ℝ)$ ( $p + q = 2 n$ )	$𝔬 (p) \oplus 𝔬 (q)$
		D_n(−n)	DⅢ	$𝔬^{*} (2 n)$	$𝔰 𝔲 (n) \oplus 𝔲 (1)$
E₆	78	E₆₍₋₇₈₎ (콤팩트)			$𝔢_{6}$
		E₆₍₆₎ (분할)	EⅠ		$𝔰 𝔲 (8)$
		E₆₍₂₎	EⅡ		$𝔰 𝔲 (6) \oplus 𝔰 𝔲 (2)$
		E₆₍₋₁₄₎	EⅢ		$𝔬 (10) \oplus 𝔲 (1)$
		E₆₍₋₂₆₎	EⅣ		$𝔣_{4}$
E₇	133	E_7(−133) (콤팩트)			$𝔢_{7}$
		E₇₍₇₎ (분할)	EⅤ		$𝔰 𝔲 (8)$
		E₇₍₋₅₎	EⅥ		$𝔬 (12) \oplus 𝔰 𝔲 (2)$
		E₇₍₋₂₅₎	EⅦ		$𝔢_{6} \oplus 𝔲 (1)$
E₈	248	E_8(−248) (콤팩트)			$𝔢_{8}$
		E₈₍₈₎ (분할)	EⅧ		$𝔬 (16)$
		E₈₍₋₂₄₎	EⅨ		$𝔢_{7} \oplus 𝔰 𝔲 (2)$
F₄	52	F₄₍₋₅₂₎ (콤팩트)			$𝔣_{4}$
		F₄₍₄₎ (분할)	FⅠ		$𝔰 𝔭 (3) \oplus 𝔰 𝔲 (2)$
		F₄₍₋₂₀₎	FⅡ		$𝔬 (9)$
G₂	14	G₂₍₋₁₄₎ (콤팩트)			$𝔤_{2}$
G₂	14	G₂₍₂₎ (분할)	GⅠ		$𝔰 𝔲 (2) \oplus 𝔰 𝔲 (2)$

위 표에서,

$n$ 은 항상 복소수 리 군의 계수이다.
$A_{n (k)}$ 과 같은 표기에서, 킬링 형식의 부호수가 $(p, q)$ 일 때, $k = p - q$ 이다. 즉, $k$ 는 리 대수의 차원 − 2 × 극대 콤팩트 부분 대수의 차원이다. 특히 분할 형식의 경우 $n = k$ 이며, 콤팩트 형식의 경우 $k$ 는 −1 × 리 대수의 차원이다.

위 표에서, 중복되는 것들은 다음이 전부이다.

𝔰𝔩(2;ℂ)≅𝔬(3;ℂ) (3차원 회전군)
- $𝔰 𝔲 (2) ≅ 𝔰 𝔩 (1; ℍ) ≅ 𝔬 (3; ℝ)$
- $𝔰 𝔩 (2; ℝ) ≅ 𝔰 𝔲 (1, 1) ≅ 𝔬 (1, 2)$
𝔰𝔭(4;ℂ)≅𝔬(5;ℂ) (5차원 회전군)
- $𝔲 𝔰 𝔭 (4) ≅ 𝔬 (5; ℝ)$
- $𝔲 𝔰 𝔭 (2, 2) ≅ 𝔬 (1, 4)$
- $𝔰 𝔭 (4; ℝ) ≅ 𝔬 (2, 3)$
𝔰𝔩(4;ℂ)≅𝔬(6;ℂ) (6차원 회전군)
- $𝔰 𝔲 (4) ≅ 𝔬 (6; ℝ)$
- $𝔰 𝔩 (2; ℍ) ≅ 𝔬 (5, 1)$
- $𝔰 𝔲 (2, 2) ≅ 𝔬 (4, 2)$
- $𝔰 𝔩 (4; ℝ) ≅ 𝔬 (3, 3)$
- $𝔰 𝔲 (1, 3) ≅ 𝔬^{*} (6)$
$𝔬^{*} (8) ≅ 𝔬 (2, 6)$ (8차원 회전군)

또한, $𝔬 (4) ≅ 𝔰 𝔲 (2)^{\oplus 2}$ 는 단순 리 대수가 아니다.

역사

복소수 반단순 리 대수는 엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 분류하였다.^[2] 실수 반단순 리 대수는 펠릭스 루비노비치 간트마헤르(틀:Llang)가 1939년에 분류하였다.^[3]

같이 보기

각주

틀:각주

외부 링크

틀:전거 통제

[Knapp-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 틀:서적 인용

[2] 틀:저널 인용

[3] 틀:저널 인용

[1]

[2]

[3]

반단순 리 대수

목차

정의

반단순 리 군

분류

복소수 단순 리 대수

실수 단순 리 대수

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역사

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