정규 부분군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 정규 부분군(正規部分群, 틀:Llang)은 내부자기동형사상에 대해 불변인 부분군을 말한다. 정규 부분군에 대하여 몫군을 취할 수 있다.

정의

군 $G$ 의 부분군 $N \leq G$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분군을 $G$ 의 정규 부분군이라고 한다.

$N$ 이 $G$ 의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.

N ⊲ G

군 $G$ 의 부분군 $N \leq G$ 이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.

틀:증명 $N = {Core}_{G} (N)$ 임을 보이는 것으로 족하다. $p$ 가 $| G |$ 의 최소 소인수라고 하자. ${Core}_{G} (N)$ 은 군의 작용

G \to Sym (G / N)

g \mapsto (g^{'} \mapsto g g^{'} N) (g, g^{'} \in G)

의 핵이므로, 몫군

G / {Core}_{G} (N)

은 대칭군 $Sym (p)$ 의 부분군과 동형이며, 그 크기는 대칭군의 크기 $p!$ 의 약수이다. 즉, 몫군

N / {Core}_{G} (N)

의 크기는 $(p - 1)!$ 의 약수이다. 그러나 위 몫군의 크기는 $p$ 미만의 소인수를 가질 수 없다. 따라서 크기는 1이다. 틀:증명 끝

군 $G$ 의 정규 부분군 $N ⊲ G$ 가 주어졌다면, 몫군 $G / N$ 에서 $N$ 의 외부자기동형군 $Out N$ 로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

G / N \to Out N = Aut N / Inn N

이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 짧은 완전열이다.

\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & Z (N) & ↪ & C_{G} (N) & ↠ & C_{G} (N) / Z (N) & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & N & ↪ & G & ↠ & G / N & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & Inn N & ↪ & Aut N & ↠ & Out N & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}

여기서 준동형 $G \to Aut N$ 은 $g \mapsto (n \mapsto g n g^{- 1})$ 이며, $N \to Inn N$ 은 $n \mapsto (m \mapsto n m n^{- 1})$ 이다.

특히, $N$ 이 아벨 정규 부분군일 경우, $Inn N$ 이 자명군이며 $Out N ≅ Inn N$ 이므로, 다음과 같은 자연스러운 군 준동형을 얻는다.

G / N \to Aut N

g N \mapsto (n \mapsto g n g^{- 1})

유클리드 군 $IO (n) = ℝ^{n} ⋊ O (n)$ 은 평행 이동의 군 $ℝ^{n}$ 을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군 $O (n)$ 은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.

정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.