그뢰브너 기저

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서 그뢰브너 기저(Gröbner基底, 틀:Llang)는 다항식환의 아이디얼의 여러 성질들을 쉽게 계산할 수 있게 하는 부분집합이다.

정의

$n$개의 변수 $(x_1,\dots ,x_n)$에 대한 단항식(單項式, 틀:Llang)은

$x_1^{m_1}{x}_2^{m_2}\cdots x_n^{m_n}(m_1,\dots ,m_n\in \mathbb{N}={\mathbb{Z}}^{+}\cup \{0\})$

과 같은 꼴의 다항식이다. $n$개 변수에 대한 단항식 순서(單項式順序, 틀:Llang)는 다음 성질들을 만족시키는, 단항식 집합 위의 전순서 $\le$이다. 모든 단항식 $M,N,P$에 대하여,

• $M<N⟺MP<NP$
• $M<MP$

체 $K$에 대한 다항식환 $K[x_1,\dots ,x_n]$을 생각하자. 그렇다면 다항식 $p\in K[x_1,\dots ,x_n]$은 단항식의 합으로 분해할 수 있다. 단항식 순서 $\le$에 대한 다항식 $p$의 최고차항(틀:Llang) $\mathrm{lt}p$은 $p$를 구성하는 단항식들 가운데, 단항식 순서 $\le$에 대하여 가장 큰 단항식이다.

아이디얼 $𝔞\subseteq K[x_1,\dots ,x_n]$와 단항식 순서 $\le$가 주어졌다고 하자. 만약 다항식 집합 $G\subset 𝔞$의 최고차항들로 생성되는 아이디얼 $(\mathrm{lt}G)$가 $𝔞$의 최고차항으로 생성되는 아이디얼 $(\mathrm{lt}𝔞)$와 일치한다면, $G$를 $𝔞$의 그뢰브너 기저라고 한다.

$(\mathrm{lt}𝔞)=(\mathrm{lt}G)$

역사

브루노 부흐베르거(틀:Llang)가 박사 학위 논문에서 1965년에 정의하고, 이를 계산하는 알고리즘을 발표하였다. "그뢰브너 기저"라는 이름은 부흐베르거의 박사 과정 지도 교수 볼프강 그뢰브너(틀:Llang)의 이름을 딴 것이다.

각주

• 틀:저널 인용
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• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
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• 틀:매스월드
• 틀:Eom