리 대수의 표현

틀:위키데이터 속성 추적 리 대수의 표현(Lie代數-表現, 틀:Llang)은 주어진 리 대수를 벡터 공간의 선형 변환의 리 대수의 부분대수로 나타내는 준동형이다. 군의 표현과 유사한 개념이다. 특히, 대응되는 리 군의 표현과 밀접한 관계를 지닌다.

정의

가환환 $R$ 위의 리 대수 $𝔤$ 위의 표현 $(M,\varphi )$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $M$은 $R$ 위의 가군이다.
• $\varphi :𝔤\to 𝔤𝔩(M;R)$는 리 대수 준동형이다. 여기서 $𝔤𝔩(M;R)$는 $M$의 $R$-가군 자기 사상들로 구성된 단위 결합 대수의 리 대수이다.

이는 $𝔤$의 보편 포락 대수 $𝒰(𝔤)$ 위의 가군과 같은 개념이다.

위 정의를 풀어 쓰면, 다음과 같다. 함수 $\varphi :𝔤\times M\to M$는 다음 조건들을 모두 만족시켜야 한다.

• (쌍선형성) $\varphi$는 쌍선형 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
  • (스칼라곱) 임의의 $r\in R$ 및 $x\in 𝔤$ 및 $m\in M$에 대하여 $\varphi (rx,m)=\varphi (x,rm)=r\varphi (x,m)$
  • ($𝔤$에 대한 선형성) 임의의 $x,y\in 𝔤$ 및 $m\in M$에 대하여 $\varphi (x+y,m)=\varphi (x,m)+\varphi (y,m)$
  • ($M$에 대한 선형성) 임의의 $x\in 𝔤$ 및 $m,n\in M$에 대하여 $\varphi (x,m+n)=\varphi (x,m)+\varphi (x,n)$
• (리 괄호의 보존) 임의의 $x,y\in 𝔤$에 대하여, $\varphi ([x,y],m)=\varphi (x,\varphi (y,m))-\varphi (y,\varphi (x,m))$

무게

틀:본문 표현 $\rho :𝔤\to 𝔤𝔩(V)$의 무게(틀:Llang)는 카르탕 부분대수의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 고유벡터의 고윳값들의 모임이다. 즉, 카르탕 부분대수를 $𝔥\subset 𝔤$로 쓰면, 그 대수적 쌍대공간의 원소인 $\rho$의 무게 $\lambda \in {𝔥}^{*}$는 적어도 하나의 0이 아닌 $v\in V$가 모든 $\xi \in 𝔥$에 대하여 $\rho (\xi )v=\lambda (\xi )v$를 만족한다.

딸림표현의 무게의 집합은 근계를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다.

연산

가환환 $R$ 위의 리 대수 $𝔤$ 위의 두 표현 $(M,\varphi )$, $(M^{\prime },{\varphi }^{\prime })$이 주어졌다고 하자.

• 가군의 직합 $M\oplus M^{\prime }$ 위에 자연스럽게 $𝔤$-표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 직합이라고 한다.
• 가군의 텐서곱 $M{\otimes }_R{M}^{\prime }$ 위에도 자연스럽게 $𝔤$-표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 텐서곱이라고 한다.

예

자명한 표현

가환환 $R$ 위의 리 대수 $𝔤$ 및 $R$-가군 $M$이 주어졌을 때, 상수 함수

$\varphi :𝔤\times M\to M$

$\varphi :(x,m)\to 0$

는 $𝔤$의 표현을 이룬다. 이를 자명한 표현(틀:Llang)이라고 한다.

딸림표현

틀:본문 가환환 $R$ 위의 리 대수 $𝔤$가 주어졌을 때,

$\mathrm{ad}:𝔤\to \mathrm{gl}(𝔤;R)$

$\mathrm{ad}:x\mapsto [x,-]$

로 정의하면, $𝔤$는 스스로의 표현을 이룬다. 이를 리 대수의 딸림표현이라고 한다. 이는 리 군 $G$의, 스스로의 리 대수 $\mathrm{Lie}(G)$ 위의 군의 표현인 딸림표현의 무한소 형태이다.

아벨 리 대수

가환환 $R$ 위의 가군 $M$을 아벨 리 대수로 생각하자. 임의의 $R$-가군 준동형 $f:M\to R$가 주어졌을 때,

$\varphi :M\times R\to R$

$\varphi :(m,r)\mapsto f(m)r$

로 정의하면 이는 $M$의 표현을 이룬다.

같이 보기

• 리 대수
• 근계

참고 문헌

• J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Birkhäuser, 2000