자유 리 대수

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 자유 리 대수(自由Lie代數, 틀:Llang)는 리 대수의 범주의 자유 대상이다. 즉, 야코비 항등식 등 리 대수의 정의에 속하는 관계 밖의 다른 특별한 관계를 갖지 않는 리 대수이다.

정의

가환환 $R$ 위의 리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 주어진 집합 $S$ 위의 $R$ 계수의 자유 리 대수 $L(S)$를 정의할 수 있다. 즉, 범주론적으로 리 대수의 범주 ${\mathrm{LieAlg}}_R$에서 집합의 범주 $\mathrm{Set}$로 가는 망각 함자

$\mathrm{Forget}:{\mathrm{LieAlg}}_R\to \mathrm{Set}$

의 왼쪽 수반 함자 $L$이 존재하며,

$L⊣\mathrm{Forget}$

집합 $S$로부터 생성되는 자유 리 대수는 이 함자의 상 $L(S)$이다.

체 $K$ 위의 자유 리 대수는 구체적으로 다음과 같이 묘사할 수 있다. 집합 $S$ 위의 자유 리 대수를 $L(S)$라고 하고, $S$ 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 $K⟨S⟩$라고 하자. 그렇다면 $L(S)$는 자연스럽게 $K⟨S⟩$의 부분 집합을 이루며, $K⟨S⟩$는 $L(S)$의 보편 포락 대수이다. $L(S)$는 $K⟨S⟩$ 속의, $S$로 생성되는 부분 리 대수이다.

체 위의 자유 리 대수는 자연스럽게 자연수 등급 리 대수를 이룬다. 여기서 등급은 린든 기저에 대응하는 린든 문자열의 길이(즉, 리 대수의 원소를 생성하기 위한 최소의 항의 수)와 같다.

성질

차원

집합 $S$에 의하여 생성되는 체 $K$ 계수의 자유 리 대수를 생각하자. 만약 $S$가 공집합이라면, $L(S)$는 0차원 리 대수이다. 만약 $S$가 한원소 집합이라면, $L(S)$는 1차원 아벨 리 대수이다. 만약 $S$의 집합의 크기가 2 이상이라면, $L(S)$는 무한 차원 리 대수이다. 구체적으로, 다음과 같다.

${\dim }_{K}L(S)=\{\begin{array}{cc}|S|& |S|\le 1\\ {\mathrm{\aleph }}_0& 2\le |S|\le {\mathrm{\aleph }}_0\\ |S|& S\ge {\mathrm{\aleph }}_0\end{array}$

자유 리 대수의 부분 리 대수

시르쇼프-비트 정리(Ширшов-Witt定理, 틀:Llang)에 따르면, 자유 리 대수의 모든 부분 리 대수는 자유 리 대수이다.

구체적 기저

체 위의 자유 리 대수의 기저는 구체적으로 린든 단어(틀:Llang)로 주어진다. 크기가 $k$인, 전순서가 주어진 알파벳 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 길이 $n$의 문자열 $s=s_1{s}_2\cdots s_n\in {\mathrm{\Sigma }}^{*}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 문자열을 린든 단어라고 한다.

• $s$의 모든 회전 $R^i(s)=s_i{s}_{i+1}\cdots s_n{s}_1{s}_2\cdots s_{i-1}$들을 생각하자. 그렇다면, $s$는 문자열 집합 $\{R^i(s):i=0,1,\dots ,k-1\}$ 가운데 사전식 순서에 대하여 유일한 최소 원소이다.
• 임의의 문자열 $a,b\in {\mathrm{\Sigma }}^{*}$에 대하여 $s=ab$라고 한다면, 사전식 순서 아래 항상 $a<b$이다.

따라서, 임의의 린든 단어 $s$는 더 짧은 두 린든 단어 $u,v$를 이은 것이다. 더 짧은 린든 단어로의 분해 $s=uv$에 대하여, $v$가 가장 긴 경우를 표준 분해(틀:Llang)라고 한다.

유한 집합 $\mathrm{\Sigma }$ 위의, 길이가 1 이상인 린든 단어의 집합은 자유 리 대수 $L(\mathrm{\Sigma })$의 어떤 기저와 표준적으로 일대일 대응하며, 이 기저를 린든 기저(틀:Llang)라고 한다. 린든 단어 $s$에 대응하는 린든 기저 벡터 $\gamma (s)$는 다음과 같다.

• 만약 $s$의 길이가 1이라면, $\gamma (s)=s\in {\mathrm{Span}}_K\mathrm{\Sigma }$
• 만약 $s$의 길이가 2 이상이며, 그 표준 분해가 $s=uv$라면, $\gamma (s)=[\gamma (u),\gamma (v)]$

예를 들어, 알파벳 $\mathrm{\Sigma }=\{0,1\}$ 위의 린든 단어들은 다음과 같다.

ε, 0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00101, 00111, 01011, 01111, ...

(ε는 길이 0의 문자열이며, 이는 린든 기저에 포함되지 않는다.)

크기 $k$ 위의 알파벳 위의, 길이 $n$의 린던 단어의 수는 목걸이 다항식

$M_n(k)=\frac{1}{n}\sum _{d\mid n}\mu (n/d)k^d$

로 주어진다. ($\mu$는 뫼비우스 함수이다.) 즉, $k$개의 원소로 생성되는 자유 리 대수의, 등급 $n$ 부분 공간의 차원은 $M_n(k)$이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab

같이 보기

• 자유군
• 자유 아벨 군
• 자유 단위 결합 대수