준동형

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 준동형(準同型, 틀:Llang) 또는 준동형 사상(準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다. 이들은 범주의 사상을 이룬다.

정의

같은 부호수 $σ = (F, R)$ 의 두 구조 $(A, F_{A}, R_{A})$ , $(B, F_{B}, R_{B})$ 사이의 준동형은 다음 조건을 만족시키는 함수 $ϕ : A \to B$ 이다.

(연산의 보존) 모든 $n$ 항 연산 $f \in F$ 및 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in A$ 에 대하여,

ϕ (f_{A} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})) = f_{B} (ϕ (a_{1}), ϕ (a_{2}), \dots, ϕ (a_{n}))

(관계의 보존) 모든 $n$ 항 관계 $r \in R$ 및 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in A$ 에 대하여,

r_{A} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) ⟹ r_{B} (ϕ (a_{1}), ϕ (a_{2}), \dots, ϕ (a_{n}))

같은 부호수 $σ = (F, R)$ 의 두 구조 $(A, F_{A}, R_{A})$ , $(B, F_{B}, R_{B})$ 사이의 강준동형(強準同型, 틀:Llang)은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형 $ϕ : A \to B$ 이다.

모든 $n$ 항 관계 $r \in R$ 및 $a_{1}, \dots, a_{n} \in A$ 에 대하여,

r_{A} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) ⟺ r_{B} (ϕ (a_{1}), ϕ (a_{2}), \dots, ϕ (a_{n}))

대수 구조의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다.

예

마그마와 군

마그마 $(M, \cdot)$ 는 하나의 이항 연산을 갖는 대수 구조이다. 마그마 준동형 $ϕ : M \to N$ 은 모든 $m, n \in M$ 에 대하여

ϕ (m \cdot n) = ϕ (m) \cdot ϕ (n)

인 함수이다.

군 $(G, \cdot,^{- 1}, 1)$ 은 이항 연산 $\cdot$ , 일항 연산 $- 1$ , 영항 연산 $1$ 을 갖는 대수 구조이다. 군 준동형 $ϕ : G \to H$ 는 모든 $g, g^{'} \in G$ 에 대하여

$ϕ (g \cdot g^{'}) = ϕ (g) \cdot ϕ (g^{'})$
$ϕ (g^{- 1}) = ϕ (g)^{- 1}$
$ϕ (1) = 1$

인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 2번·3번 조건이 1번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

유사환과 환

유사환 $(R, \cdot, +, -, 0)$ 은 이항 연산 $\cdot$ 및 $-$ , 일항 연산 $-$ , 영항 연산 $0$ 을 갖는 대수 구조이다. 유사환 준동형 $ϕ : R \to S$ 는 모든 $r, r^{'} \in R$ 에 대하여

$ϕ (r \cdot r^{'}) = ϕ (r) \cdot ϕ (r^{'})$
$ϕ (r + r^{'}) = ϕ (r) + ϕ (r^{'})$
$ϕ (- r) = - ϕ (r)$
$ϕ (- 0) = - ϕ (0)$

인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

(단위원을 갖는) 환 $(R, \cdot, +, -, 1, 0)$ 은 이항 연산 $\cdot$ 및 $+$ , 일항 연산 $-$ , 영항 연산 $0$ 및 $1$ 을 갖는 대수 구조이다. 환 준동형 $ϕ : R \to S$ 는 모든 $r, r^{'} \in R$ 에 대하여

$ϕ (r \cdot r^{'}) = ϕ (r) \cdot ϕ (r^{'})$
$ϕ (r + r^{'}) = ϕ (r) + ϕ (r^{'})$
$ϕ (- r) = - ϕ (r)$
$ϕ (- 0) = - ϕ (0)$
$ϕ (1) = 1$

인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. 두 환 사이의 유사환 준동형은 일반적으로 5번 성질을 만족시키지 못하므로, 환 준동형은 유사환 준동형보다 더 강한 조건이다. 예를 들어, $ℤ \to ℤ \times ℤ$ , $n \mapsto (0, n)$ 은 유사환 준동형이지만 환 준동형이 아니다.

체는 (보편 대수학에서 다루는) 대수 구조가 아니므로, 준동형의 개념이 존재하지 않는다. 체를 환으로 간주한다면, 체 사이의 환 준동형은 체의 확대이다. 체 사이의 유사환 준동형은 그 밖에 상수 함수 0만을 추가로 포함한다.

벡터 공간

체 $K$ 에 대한 벡터 공간 $(V, +, -, s \cdot_{s \in K}, 0)$ 은 이항 연산 $+$ , 일항 연산 $-$ 및 모든 $s \in K$ 에 대하여 $s \cdot$ , 영항 연산 $0$ 을 갖는 대수 구조이다. 벡터 공간의 준동형은 선형 변환이라고 하며, 선형 변환 $ϕ : V \to W$ 는 모든 $v, v^{'} \in R$ 에 대하여

$ϕ (v + v^{'}) = ϕ (v) + ϕ (v^{'})$
$ϕ (- v) = - ϕ (v^{'})$
모든 $s \in K$ 에 대하여, $ϕ (- s \cdot r) = - s \cdot ϕ (r)$
$ϕ (0) = ϕ (0)$

인 함수이다. 벡터 공간의 공리에 따라 2번 및 4번 조건은 1번 및 3번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

격자

격자 $(L, \lor, \land)$ 는 이항연산 $\lor$ 및 $\land$ 를 갖는 대수 구조이다. 격자의 준동형 $ϕ : L \to M$ 은 모든 $a, b \in L$ 에 대하여

$ϕ (a \lor b) = ϕ (a) \lor ϕ (b)$
$ϕ (a \land b) = ϕ (a) \land ϕ (b)$

인 함수이다. 격자는 표준적인 부분 순서 집합 구조를 갖는데, 이 경우 위 두 조건으로부터 격자 준동형이 항상 단조함수임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유계 격자 $(L, \lor, \land, ⊥, ⊤)$ 는 이항 연산 $\lor$ 및 $\land$ , 영항 연산 $⊥$ 및 $⊤$ 을 갖는 대수 구조이다. 유계 격자의 준동형 $ϕ : L \to M$ 은 모든 $a, b \in L$ 에 대하여

$ϕ (a \lor b) = ϕ (a) \lor ϕ (b)$
$ϕ (a \land b) = ϕ (a) \land ϕ (b)$
$ϕ (⊥) = ⊥$
$ϕ (⊥) = ⊤$

인 함수이다. 이는 격자의 준동형보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

그래프

그래프의 언어 $⟨ \sim ⟩$ 는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 $v_{1} \sim v_{2}$ 를 갖는 언어이다. 이 경우 $v_{1} \sim v_{2}$ 는 " $v_{1} = v_{2}$ 이거나, 아니면 $v_{1}$ 과 $v_{2}$ 사이에 변이 존재한다"로 해석한다.

이 언어의 구조는 그래프이며, 구조로서의 준동형은 그래프의 준동형이다.

전순서

전순서 집합의 언어 $⟨ \leq$ 는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 $\leq$ 를 갖는 언어이며, 이 언어의 구조는 전순서 집합이다. 이 경우, 준동형은 순서 보존 함수(증가 함수)이다.

참고 문헌

틀:서적 인용

같이 보기

외부 링크

틀:전거 통제

준동형

목차

정의

예

마그마와 군

유사환과 환

벡터 공간

격자

그래프

전순서

참고 문헌

같이 보기

외부 링크

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유사환과 환

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격자

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