아핀 리 대수

비틀리지 않은 아핀 딘킨 도표들. 새로 추가한 꼭짓점은 녹색이다.

비틀린 아핀 딘킨 도표들.

리 대수 이론에서, 아핀 리 대수(affine Lie代數, 틀:Llang)는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다. 물리학의 등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우다.

정의

아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

• 아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특별한 종류이다.
• 아핀 리 대수는 단순 리 대수 계수의 로랑 다항식의 리 대수의 중심 확대이다.
• 아핀 리 대수는 어떤 특별한 프레셰 리 군의 리 대수(의 복소화의 부분 공간)이다.

이 정의들은 서로 동치이다.

카츠-무디 대수로서의 정의

아핀 리 대수는 카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬 $A$가 양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수 $𝔤$가 $n+1$개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은 $(n+1)\times (n+1)$ 정사각 행렬이며 그 계수는 $l$이다.

대수적 구성

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수체 위의 유한 차원 이차 리 대수 $({\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℂ},⟨|⟩:\stackrel{\circ }{𝔤}{\otimes }_K{\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℂ}\to ℂ)$. (만약 ${\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℂ}$가 반단순 리 대수라면, 이는 킬링 형식으로 잡을 수 있다. 만약 ${\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℂ}$가 아벨 리 대수라면, 마찬가지로 적절한 쌍선형 형식을 잡을 수 있다. 만약 둘 다 아니라면, 이는 0으로 놓을 수 있다.)

그렇다면, 아핀 리 대수 ${\widehat{𝔤}}^{ℂ}$는 $K$-벡터 공간으로서 다음과 같다.

$\widehat{𝔤}=\stackrel{\circ }{𝔤}[𝗓,{𝗓}^{-1}]\oplus ℂ𝗄$.

즉, ${\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℂ}$의 계수를 가진 로랑 다항식 ${𝔤}^{ℂ}[𝗓,{𝗓}^{-1}]$에 중심 확대 $𝗄$를 더한 것이다. 물리학적으로 ${\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℂ}[𝗓,{𝗓}^{-1}]$는 대칭의 보존류들을 나타내고, $𝗄$는 대칭의 변칙을 나타낸다.

${\widehat{𝔤}}^{ℂ}$ 위에는 다음과 같은 리 괄호를 정의한다. $a,b\in {\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℂ}$라고 하면,

$[a{𝗓}^m,b{𝗓}^n]=[a,b]{𝗓}^{m+n}+{\delta }_{m+n,0}m⟨a|b⟩𝗄$

$[𝗄,a{𝗓}^n]=[𝗄,𝗄]=0$

$𝗄$는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열

$0\to ℂ𝗄\to {\widehat{𝔤}}^{ℂ}\to {\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℂ}\otimes ℂ[𝗓,{𝗓}^{-1}]\to 0$

이 존재한다.

형식적 변수 $𝗓$ 대신, $\stackrel{\circ }{𝔤}$의 정규 직교 기저 $g^a$를 잡아, 직접

$g_m^a=g^a{𝗓}^m$

를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다.

$[g_m^a,g_n^b]=f^{ab}{}_c{g}_{m+n}^c+{\delta }_{m+n,0}m{\delta }^{ab}𝗄$

$[𝗄,g_m^a]=0$

여기서 $f^{ab}{}_c$는 $\stackrel{\circ }{𝔤}$의 구조 상수이다.

실수 형태

${\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℂ}$가 실수 이차 리 대수 ${\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℝ}$의 복소화라고 하자. 그렇다면, 복소수 아핀 리 대수 ${\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℂ}$는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.

$𝗓\mapsto {𝗓}^{-1}$

$\mathrm{i}\mapsto -\mathrm{i}$

$𝗄\mapsto 𝗄$

$x\mapsto x\mathrm{\forall }x\in {\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℝ}$

즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형(틀:Llang) 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점

${\widehat{𝔤}}^{ℝ}=\stackrel{\circ }{𝔤}{\otimes }_{ℝ}ℝ[z+z^{-1},\mathrm{i}(z-z^{-1})]+ℝ𝗄$

은 실수 리 대수를 이룬다.

미분 연산의 추가

복소수 벡터 공간

${\widetilde{𝔤}}^{ℂ}={\widehat{𝔤}}^{ℂ}\oplus ℂ𝖽$

위에 다음과 같은 리 괄호를 정의할 수 있다.

$[𝖽,a{z}^m]=-\mathrm{i}ma{𝗓}^m\mathrm{\forall }a\in {\stackrel{\circ }{𝔤}}^{ℂ}$

$[𝖽,𝖼]=0$

즉,

$[𝖽,-]=-\mathrm{i}𝗓\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}𝗓}$

이다. 만약 형식적으로 $𝗓=\exp (\mathrm{i}𝗍)$로 놓는다면,

$[𝖽,-]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}𝗍}$

가 된다.

또한,

$[𝖽,a(z+z^{-1})]=-a\mathrm{i}(z-{𝗓}^{-1})$

$[𝖽,\mathrm{i}a(z-z^{-1})]=a(z+{𝗓}^{-1})$

이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 ${\widehat{𝔤}}^{ℝ}$에도 잘 정의된다.

뒤틀린 아핀 리 대수

$\stackrel{\circ }{𝔤}[𝗓,{𝗓}^{-1}]$를 원 위의 푸리에 급수로 해석할 수 있다. 즉, $z=\exp (\mathrm{i}𝗍)$로 놓으면, $\stackrel{\circ }{𝔤}[𝗓,{𝗓}^{-1}]$를 주기적 함수 ${𝕊}^1\to \stackrel{\circ }{𝔤}$로 해석할 수 있다. 즉, $a(0)=a(2\pi )$의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.

만약 $\stackrel{\circ }{𝔤}$가 자명하지 않은 자기 동형 $\sigma \in \mathrm{Aut}(\stackrel{\circ }{𝔤})$를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.

$\sigma a(0)=a(2\pi )$.

이와 같은 경우를 뒤틀린 아핀 리 대수(틀:Lang)라고 한다. 마찬가지로 뒤틀린 카츠-무디 대수(틀:Lang)를 정의할 수 있다.

아핀 리 대수의 기하학적 정의

아핀 리 대수는 기하학적으로 리 대수 값의 주기 함수를 통해 구성될 수 있다.틀:Rp

구체적으로, 킬링 형식이 음의 정부호인 실수 단순 리 대수 $\stackrel{\circ }{𝔤}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 프레셰 공간

$\mathrm{L}\stackrel{\circ }{𝔤}={𝒞}^{\mathrm{\infty }}({𝕊}^1,\stackrel{\circ }{𝔤})$

을 정의할 수 있다. 이는 $\stackrel{\circ }{𝔤}$값의 매끄러운 주기 함수로 구성된다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호를 부여하면 이는 리 대수를 이룬다. 그 복소화는 (푸리에 급수로서) 다음과 같은 부분 벡터 공간을 갖는다.

$\iota :ℂ[𝗓,{𝗓}^{-1}]{\otimes }_{ℝ}\stackrel{\circ }{𝔤}\subseteq \mathrm{L}\stackrel{\circ }{𝔤}{\otimes }_{ℝ}ℂ$

$\iota ({𝗓}^n\otimes x):t\mapsto \exp (\mathrm{i}tn)x(x\in 𝔤,t\in ℝ/2\pi \mathbb{Z}={𝕊}^1)$

이 경우, 우변을 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는

${\iota }_{ℝ}:ℝ[𝗓+{𝗓}^{-1},\mathrm{i}(𝗓-{𝗓}^{-1})]{\otimes }_{ℝ}\stackrel{\circ }{𝔤}\to \mathrm{L}\stackrel{\circ }{𝔤}$

이다.

고리 리 대수 $\mathrm{L}\stackrel{\circ }{𝔤}$의 리 대수 코호몰로지에서, 다음과 같은 2차 공사슬이 존재한다.

$\alpha :\mathrm{L}\stackrel{\circ }{𝔤}\times \mathrm{L}\stackrel{\circ }{𝔤}\to ℝ$

$\alpha :(x,y)\mapsto \frac{{\delta }^2}{2\pi }\underset{{𝕊}^1}{\int }⟨x(t)|y(t)⟩\mathrm{d}t$

여기서

• $⟨-|-⟩$은 $\stackrel{\circ }{𝔤}$ 위의 어떤 임의의 불변 비퇴화 이차 형식이다. (이는 킬링 형식의 스칼라배이다.) 비퇴화성으로 인하여, 이는 쌍대 공간 ${\stackrel{\circ }{𝔤}}^{*}$ 위의 비퇴화 이차 형식으로도 여길 수 있다.
• ${\delta }^2$는 $\stackrel{\circ }{𝔤}$의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 여기서 제곱 노름은 $⟨-|-⟩$에 따른 것이다.
• ${𝕊}^1$의 측도 $\mathrm{d}t$에 따르면, $\underset{{𝕊}^1}{\int }\mathrm{d}t=2\pi$이다.

이 2차 공사슬은 리 대수의 짧은 완전열

$0\to ℝ\to \overline{𝔤}\to \mathrm{L}\stackrel{\circ }{𝔤}\to 0$

을 정의한다. 이 경우, $𝔤$에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수 $\widehat{𝔤}$는 자연스럽게 다음과 같이 $\overline{𝔤}$의 부분 리 대수가 된다.

$\begin{array}{ccccccccc}0& \to & ℝ& \to & \widehat{𝔤}& \to & \stackrel{\circ }{𝔤}{\otimes }_{ℝ}ℝ[z+z^{-1},\mathrm{i}(z-z^{-1})]& \to & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & ℝ& \to & \overline{𝔤}& \to & \mathrm{L}\stackrel{\circ }{𝔤}& \to & 0\end{array}$

리 군의 기하학적 정의

실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체인 리 군의 리 대수이다.틀:Rp

구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 $\stackrel{\circ }{G}$와 그 실수 리 대수 $\stackrel{\circ }{𝔤}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군을 정의할 수 있다.

$\mathrm{L}\stackrel{\circ }{G}={𝒞}^{\mathrm{\infty }}({𝕊}^1,\stackrel{\circ }{G})$

즉, 이는 $\stackrel{\circ }{G}$값의 매끄러운 주기 함수의 공간이다. 이는 프레셰 다양체를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군을 이룬다.

아핀 리 대수는 $ℝ[𝗓+{𝗓}^{-1},\mathrm{i}(𝗓-{𝗓}^{-1})]{\otimes }_{ℝ}\stackrel{\circ }{𝔤}$의 중심 확대이다. 위상군으로서, 이는 짧은 완전열

$1\to \mathrm{U}(1)\to \hat{G}\to \mathrm{L}\stackrel{\circ }{G}\to 1$

에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발을 이룬다.

구체적으로, 원판 ${𝔻}^2$를 생각하자. 이제,

$\mathrm{L}\stackrel{\circ }{G}=G_{{𝔻}^2}/𝒢$

$G_{{𝔻}^2}={𝒞}^{\mathrm{\infty }}({𝔻}^2,G)$

$𝒢=\{\alpha \in G_{{𝔻}^2}:\alpha \upharpoonright \partial {𝔻}^2=1_{\stackrel{\circ }{G}}\}\cong {𝒞}_{\bullet }^{\mathrm{\infty }}({𝕊}^2,\stackrel{\circ }{G})$

이다. 여기서 $𝒢$는 일종의 게이지 변환군으로 여길 수 있다. 이제, $G_{{𝔻}^2}$ 위의 다음과 같은 함수를 생각하자.

$\gamma :G_{{𝔻}^2}\times G_{{𝔻}^2}\to ℝ$

$\gamma (g,h)=\frac{1}{4\pi {\delta }^2}\underset{{𝔻}^2}{\int }⟨g^{-1}\mathrm{d}g|h^{-1}\mathrm{d}h⟩$

여기서

• $⟨-|-⟩$는 $\stackrel{\circ }{𝔤}$ 위의 불변 비퇴화 이차 형식이며, (예를 들어) 딸림표현에서의 대각합 $⟨x,y⟩=\mathrm{tr}(xy)$으로 여길 수 있다.
• ${\delta }^2$는 $⟨-|-⟩$에 따른, $\stackrel{\circ }{𝔤}$의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다.

그렇다면,

$\exp (\mathrm{i}l\gamma (-,-)):G_{{𝔻}^2}\times G_{{𝔻}^2}\to ℂ(l\in \mathbb{Z})$

는 (자명한 계수의) ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}({𝔻}^2,G)$의 군 코호몰로지의 2차 공사슬을 이루며, 이는 $G_{{𝔻}^2}$의 중심 확대

$1\to \mathrm{U}(1)\to {\hat{G}}_{{𝔻}^2}\to G_{{𝔻}^2}\to 1$

를 정의한다.

이제, 임의의 $\alpha \in 𝒢$에 대하여,

${\iota }_l:𝒢\to {\hat{G}}_{{𝔻}^2}$

${\iota }_l:\alpha \mapsto (\alpha ,\exp (\frac{\mathrm{i}l}{12\pi {\delta }^2}\underset{{𝔻}^3}{\int }\mathrm{tr}({\overline{\alpha }}^{-1}\mathrm{d}\overline{\alpha }{)}^3))$

를 정의할 수 있다. 여기서

$\overline{\alpha }:{𝔻}^3\to \stackrel{\circ }{G}$

$(\overline{\alpha }\upharpoonright \partial {𝔻}^3)=\alpha$

는 $\alpha :{𝕊}^2\to \stackrel{\circ }{G}$의, 3차원 공 ${𝔻}^3$으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이 $\overline{\alpha }$의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형의 작용의 항에 해당한다.

이 사상은 단사 함수이자 군 준동형이며, ${\iota }_l(𝒢)$는 ${\hat{G}}_{{𝔻}^2}$의 정규 부분군이다. 따라서, 몫군

${\hat{G}}_l=\frac{{\hat{G}}_{{𝔻}^2}}{{\iota }_l(𝒢)}$

을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열

$1\to \mathrm{U}(1)\to {\hat{G}}_l\to \mathrm{L}G\to 1$

을 구성한다. (정수 $l\in \mathbb{Z}$은 $\widehat{𝔤}$의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, ${\hat{G}}_l$의 리 대수는 ($l\ne 0$일 경우, $l$의 값에 상관없이) $\widehat{𝔤}$이다.

성질

아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.

콕서터 수와 쌍대 콕서터 수

아핀 리 대수 $𝔤$의 단순근들이 ${\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_n$이며, 단순 쌍대근들이 ${\alpha }_0^{\vee },\dots ,{\alpha }_n^{\vee }$라고 하자. 콕서터 라벨(틀:Llang) $a_i$와 쌍대 콕서터 라벨(틀:Llang) $a_i^{\vee }$는 카르탕 행렬 $A$에 대하여

$0=a^{\mathrm{\top }}A=A{a}^{\vee }$

를 만족시키는 벡터이다.틀:Rp 이 경우, $a$ 및 $a^{\vee }$의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다.

아핀 리 대수의 콕서터 수(틀:Llang) $h$와 쌍대 콕서터 수(틀:Llang) $h^{\vee }$는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.

$𝗁(𝔤)=\sum _{i=0}^n{a}_i$

${𝗁}^{\vee }(𝔤)=\sum _{i=0}^n{a}_i^{\vee }$

아핀 리 대수 $𝔤$의 표준 중심 원소(標準中心元素, 틀:Llang) $k\in 𝔥$는 다음과 같이 정의되는, 카르탕 부분 대수 $𝔥\subseteq 𝔤$의 원소이다.

$k=\sum _{i=0}^n{a}_i^{\vee }{\alpha }_i^{\vee }$

그렇다면, $𝔤$의 중심은 1차원 부분 대수

$\mathrm{Z}(𝔤)=ℂ𝗄$

이다. 마찬가지로,

$\delta =\sum _{i=0}^n{a}_i{\alpha }_i$

를 정의하자.

근계의 구조

아핀 리 대수 $𝔤$의 기본 단순 리 대수가 $\stackrel{\circ }{𝔤}$라고 하자. $r$가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형의 차수라고 하자. 예를 들어, ${\tilde{D}}_4^{(3)}$의 경우, $r=3$이다. 그렇다면, $𝔤$의 실근들의 집합 ${\mathrm{\Delta }}^{\text{re}}(𝔤)$는 구체적으로 다음과 같다.틀:Rp

${\mathrm{\Delta }}^{\text{re}}(𝔤)=\{\begin{array}{cc}\stackrel{\circ }{\mathrm{\Delta }}+\mathbb{Z}\delta & r=1\\ ({\stackrel{\circ }{\mathrm{\Delta }}}_{\text{short}}+\mathbb{Z}\delta )\cup ({\stackrel{\circ }{\mathrm{\Delta }}}_{\text{long}}+r\mathbb{Z}\delta )& r\in \{2,3\},𝔤\cong ̸A_{2n}^{(2)}\\ \frac{1}{2}({\stackrel{\circ }{\mathrm{\Delta }}}_{\text{long}}+(2\mathbb{Z}-1)\delta )\cup ({\stackrel{\circ }{\mathrm{\Delta }}}_{\text{short}}+\mathbb{Z}\delta )\cup ({\stackrel{\circ }{\mathrm{\Delta }}}_{\text{long}}+2\mathbb{Z}\delta )& 𝔤\cong A_{2n}^{(2)}\end{array}$

$𝔤$의 허근들의 집합 ${\mathrm{\Delta }}^{\text{im}}(𝔤)$는 다음과 같다.틀:Rp

${\mathrm{\Delta }}^{\text{im}}(𝔤)=(\mathbb{Z}\setminus \{0\})\delta$

(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, $\delta$는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.틀:Rp

${\mathrm{\Delta }}^{\text{im},+}(𝔤)={\mathbb{Z}}^{+}\delta$

기본 단순 리 대수

단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, $𝔤$의 축척 원소(틀:Llang) $d\in 𝔥$는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.

$⟨{\alpha }_i,d⟩={\delta }_{i,0}$

축척 원소를 선택하였다면, $𝔤$와 그 카르탕 부분 대수 $𝔥\subseteq 𝔤$는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.

$𝔤=[𝔤,𝔤]\oplus ℂ𝖽$

$𝔥=\mathrm{Span}\{{\alpha }_0^{\vee },\dots ,{\alpha }_r^{\vee },d\}$

$𝔥$에서, $k$ 및 $d$에 수직이 되는 부분 공간을 $\stackrel{\circ }{𝔥}$라고 하자.

$𝔥=\stackrel{\circ }{𝔥}\oplus ℂ𝗄\oplus ℂ𝖽$

아핀 리 대수 $𝔤$의 슈발레 생성원을

$(e_0,f_0),\dots ,(e_n,f_n)$

이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 $𝔤$의 기본 단순 리 대수(틀:Llang) $\stackrel{\circ }{𝔤}⊊𝔤$는 $\stackrel{\circ }{𝔥}$ 및 $(e_1,f_1),\dots ,(e_n,f_n)$로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수이며, 기본 단순 리 대수 $\stackrel{\circ }{𝔤}$의 카르탕 부분 대수는 $\stackrel{\circ }{𝔥}$이며, 그 근계 및 쌍대 근계는

$\stackrel{\circ }{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{\Delta }\cap {\stackrel{\circ }{𝔥}}^{*}$

${\stackrel{\circ }{\mathrm{\Delta }}}^{\vee }={\mathrm{\Delta }}^{\vee }\cap \stackrel{\circ }{𝔥}$

이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각

$\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\}$

$\{{\alpha }_1^{\vee },\dots ,{\alpha }_n^{\vee }\}$

이다.

바일 군

아핀 리 대수 $𝔤$의 바일 군 $\mathrm{Weyl}(𝔤)$은 아핀 콕서터 군이며, 그 기본 단순 리 대수 $\stackrel{\circ }{𝔤}$의 바일 군 $\mathrm{Weyl}(\stackrel{\circ }{𝔤})$과 어떤 자유 아벨 군의 반직접곱이다.틀:Rp

$\mathrm{Weyl}(𝔤)=\mathrm{Weyl}(\stackrel{\circ }{𝔤})⋊M$

여기서

$M=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}\stackrel{\circ }{\mathrm{\Delta }}& r=1\\ {\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}{\stackrel{\circ }{\mathrm{\Delta }}}^{\vee }& r\in \{2,3\}\end{array}$

는 $\stackrel{\circ }{𝔥}$ 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 $\circ 𝔥\cong \circ {𝔥}^{*}$를 암묵적으로 사용하였다.

표현론

$\stackrel{\circ }{𝔤}$의 유한 차원 유니터리 표현

$\stackrel{\circ }{\rho }:𝔤\to 𝔲(n)$

이 주어졌으며, 자연수 $k\in \mathbb{N}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 $\widehat{𝔤}$에서, 포함 관계 $\iota :\stackrel{\circ }{𝔤}\to \widehat{𝔤}$에 대하여

$\stackrel{\circ }{\rho }=\rho \circ \iota$

이며

$\rho (𝗄)=k$

가 되는, 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간으로 가는 기약 표현

$\rho :\widehat{𝔤}\to ℒ(\mathscr{H},\mathscr{H})$

이 유일하게 존재한다.

스가와라 구성

단순 리 대수 $\stackrel{\circ }{𝔤}$에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수 $\widehat{𝔤}=𝕘[𝗓,{𝗓}^{-1}]\oplus ℂ𝖼$의 표현 $V$가 주어졌다고 하자.

이 경우, $V$에 다음과 같은 비라소로 대수의 표현이 존재한다.

${𝖫}_n=\frac{1}{𝗄+{𝗁}^{\vee }(𝔤)}\sum _{m\in \mathbb{Z}}{\eta }_{ab}(x^a{𝗓}^m)(x^b{𝗓}^{-m})(n\ne 0)$

${𝖫}_0=\frac{2}{𝗄+{𝗁}^{\vee }(𝔤)}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\eta }_{ab}(x^a{𝗓}^m)(x^b{𝗓}^{-m})$

$𝖼=\frac{𝗄\dim \stackrel{\circ }{𝔤}}{𝗄+{𝗁}^{\vee }(\stackrel{\circ }{𝔤})}$

이를 스가와라 구성([菅原]構成, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 여기서

• ${𝗁}^{\vee }(\stackrel{\circ }{𝔤})$는 단순 리 대수 $\stackrel{\circ }{𝔤}$의 이중 콕서터 수이다.
• ${\eta }_{ab}$는 $\stackrel{\circ }{𝔤}$의 킬링 형식의 스칼라배이며, 이 비퇴화 이차 형식에 따라서 $𝔤$의 근 가운데 가장 긴 것의 제곱 길이가 2이다. (만약 짧은 근이 존재한다면, 그 제곱 길이는 1이 된다.)
• $𝗄$는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다. 따라서 단순히 수로 취급할 수 있다.
• 합이 무한해 보이지만, 이들이 사다리 연산자로 작용하므로, 실제로는 각 베르마 가군에서 적절한 기저에서 각 기저 벡터의 경우 오직 유한 개의 항만이 작용하게 된다.
• ${𝖫}_0$의 정의가 특별한 것은 표준 순서를 가했기 때문이다.

보다 일반적으로, 반단순 리 대수 $\stackrel{\circ }{𝔤}$의 표현 $V$ 및 부분 단순 리 대수 $\stackrel{\circ }{𝔥}\subseteq \stackrel{\circ }{𝔤}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\widehat{𝔤}$에 대응하는 스가와라 구성

$(𝖫{\text{'}}_n,{𝖼}^{\prime }{)}_{\mathbb{Z}}$

및 $\widehat{𝔥}$에 대응하는 스가와라 구성

$({𝖫}^{\prime }{\text{'}}_n,{𝖼}^{″}{)}_{\mathbb{Z}}$

이 주어진다. 이 경우,

${𝖫}_n=𝖫{\text{'}}_n-{𝖫}^{\prime }{\text{'}}_n$

$𝖼={𝖼}^{\prime }-{𝖼}^{″}=\frac{𝗄\dim \stackrel{\circ }{𝔤}}{𝗄+{𝗁}^{\vee }(\stackrel{\circ }{𝔤})}-\frac{𝗄\dim \stackrel{\circ }{𝔥}}{𝗄+{𝗁}^{\vee }(\stackrel{\circ }{𝔥})}$

를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다. 이를 공액류 구성(틀:Llang) 또는 고더드-켄트-올리브 구성(틀:Llang) 또는 GKO 구성(틀:Llang)이라고 한다.

이를 통하여 비라소로 대수의 모든 $c<1$ 유니터리 표현을 구현할 수 있다. 구체적으로, $c=1-6/(k+2)(k+3)$ 유니터리 표현을 구현하려면,

$\widehat{𝔤}=\widehat{𝔰𝔲}(2{)}_k\times \widehat{𝔰𝔲}(2{)}_1$

$\widehat{𝔥}=\widehat{𝔰𝔲}(2{)}_{k+1}$

를 취하면 된다. 여기서 $\stackrel{\circ }{𝔥}=𝔰𝔲(2)$는 $\stackrel{\circ }{𝔤}=𝔰𝔲(2)\oplus 𝔰𝔲(2)$의 대각 성분이다. 이 경우

$\dim 𝔰𝔲(2)=3$

${𝗁}^{\vee }(𝔰𝔲(2))=2$

이므로,

$𝖼=\frac{3k}{k+2}+\frac{3\times 1}{1+2}-\frac{3(k+1)}{k+3}=1-\frac{6}{(k+2)(k+3)}$

임을 계산할 수 있다.

분류

단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근 $\mathrm{\Delta }$에서, $\delta$를 더한 것을 무시한 동치류들의 수 가운 데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. (${\tilde{A}}_{2n}^{(2)}$의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다.) 이 경우 긴 근의 길이는 항상 $\sqrt{2}$로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.

딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서 $A_{ij}{A}_{ji}=4$인 경우)는 $\stackrel{4}{\to }$ 및 $\stackrel{4}{\leftrightarrow }$로 표기하였다. 이 경우 $A_{ij}=A_{ji}=-2$인 경우는 $\stackrel{4}{\leftrightarrow }$이며, $A_{ij}=-1,A_{ji}=-4$인 경우는 $\stackrel{4}{\to }$이다.

기호 틀:Rp	타 기호 틀:Rp	타 기호 틀:Rp	타 기호 틀:Rp	바일 군 궤도 수	긴 실근의 동치류 수	짧은 실근의 동치류 수	딘킨 도표	콕서터 라벨 틀:Rp	쌍대 콕서터 라벨 틀:Rp틀:Rp	콕서터 수틀:Rp	쌍대 콕서터 수틀:Rp
${\tilde{A}}_1$	$A_1^u=A_1^t$	$A_1$	$A_1^{(1)}$	2	2	0	$\bullet \stackrel{4}{\leftrightarrow }\bullet$	$1\stackrel{4}{\leftrightarrow }1$		2
${\tilde{A}}_n$ $(n\ge 2)$	$A_n^u=A_n^t$	$A_n$	$A_n^{(1)}$	1	$n(n+1)$	0	$\bullet <\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet -\cdots -\bullet }{\bullet -\cdots -\bullet }>\bullet$	$1<\genfrac{}{}{0ex}{}{1-\cdots -1}{1-\cdots -1}>1$		$n+1$
${\tilde{B}}_n$	$B_n^u$	$B_n$	$B_n^{(1)}$	2	$2n(n-1)$	$2n$ (길이 $1$)	$\bullet \Leftarrow \bullet -\cdots -\bullet <\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet }{\bullet }$	$2\Leftarrow 2-\cdots -2<\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}$	$1\Leftarrow 2-\cdots -2<\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}$	$2n$	$2n-1$
${\tilde{C}}_n$	$C_n^u$	$C_n$	$C_n^{(1)}$	3	$2n$	$2n(n-1)$ (길이 1)	$\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Leftarrow \bullet$	$1\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Leftarrow 1$	$1\Rightarrow 1-1-\cdots -1-1\Leftarrow 1$	$2n$	$n+1$
${\tilde{D}}_n$	$D_n^u=D_n^t$	$D_n$	$D_n^{(1)}$	1	$2n(n-1)$	0	$\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet }{\bullet }>\bullet -\bullet -\cdots -\bullet <\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet }{\bullet }$	$\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}>2-2-\cdots -2<\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}$		$2n-2$
${\tilde{E}}_6$	$E_6^u=E_6^t$	$E_6$	$E_6^{(1)}$	1	72	0	$\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet -\bullet }{\bullet -\bullet }>\bullet -\bullet -\bullet$	$\genfrac{}{}{0ex}{}{1-2}{1-2}>3-2-1$		12
${\tilde{E}}_7$	$E_7^u=E_7^t$	$E_7$	$E_7^{(1)}$	1	126	0	$\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet -\bullet -\bullet }{\bullet -\bullet -\bullet }>\bullet -\bullet$	$\genfrac{}{}{0ex}{}{1-2-3}{1-2-3}>4-2$		18
${\tilde{E}}_8$	$E_8^u=E_8^t$	$E_8$	$E_8^{(1)}$	1	240	0	$\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet }{}\genfrac{}{}{0ex}{}{-}{}\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet }{\bullet }>\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet$	$\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{}\genfrac{}{}{0ex}{}{-}{}\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}>6-5-4-3-2-1$		30
${\tilde{F}}_4$	$F_4^u$	$F_4$	$F_4^{(1)}$	2	24	24 (길이 1)	$\bullet -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet$	$1-2-3\Rightarrow 4-2$	$1-2-3\Rightarrow 2-1$	12	9
${\tilde{G}}_2$	$G_2^u$	$G_2$	$G_2^{(1)}$	2	6	6 (길이 $\sqrt{2/3}$)	$\bullet -\bullet \Rrightarrow \bullet$	$1-2\Rrightarrow 3$	$1-2\Rrightarrow 1$	6	4
${\tilde{A}}_{2n-1}^{(2)}$	$C_n^t$	$B_n^{\vee }$	$C_n^{(2)}$	3	$2n$	$2n(n-1)$ (길이 1)	$\bullet \Rightarrow \bullet -\cdots -\bullet <\genfrac{}{}{0ex}{}{\bullet }{\bullet }$	$1\Rightarrow 2-\cdots -2<\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}$	$2\Rightarrow 2-\cdots -2<\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}$	$2n-1$	$2n$
${\tilde{A}}_2^{(2)}$	$B{C}_1^m$	$B{C}_1$	${\tilde{B}}_1^{(2)}$	2	$2$	$2$ (길이 $1/\sqrt{2}$)	$\bullet \stackrel{4}{\to }\bullet$	$1\stackrel{4}{\to }2$	$2\stackrel{4}{\to }1$	3
${\tilde{A}}_{2n}^{(2)}$ $(n\ge 2)$	$B{C}_n^m$	$B{C}_n$	${\tilde{B}}_n^{(2)}$	3	$2n$	$2n(n-1)$ (길이 1) $2n$ (길이 $1/\sqrt{2}$)	$\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet$	$1\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 2$	$2\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 1$	$2n+1$
${\tilde{D}}_4^{(3)}$	$G_2^t$	$G_2^{\vee }$	$G_2^{(3)}$	2	6	6 (길이 $\sqrt{2/3}$)	$\bullet -\bullet \Lleftarrow \bullet$	$1-2\Lleftarrow 1$	$1-2\Lleftarrow 3$	4	6
${\tilde{D}}_{n+1}^{(2)}$	$B_n^t$	$C_n^{\vee }$	$B_n^{(2)}$	2	$2n(n-1)$	$2n$ (길이 1)	$\bullet \Leftarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet$	$1\Leftarrow 1-1-\cdots -1-1\Rightarrow 1$	$1\Leftarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 1$	$n+1$	$2n$
${\tilde{E}}_6^{(2)}$	$F_4^t$	$F_4^{\vee }$	$F_4^{(2)}$	2	24	24 (길이 1)	$\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\bullet$	$1-2\Rightarrow 3-2-1$	$2-4\Rightarrow 3-2-1$	9	12

아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.

Ã_n

$n\ge 2$일 경우, ${\tilde{A}}_n$의 카르탕 행렬은 다음과 같은 $(n+1)\times (n+1)$ 대칭 정사각 행렬이다.

$\mathrm{Cartan}({\tilde{A}}_n)=\left(\begin{array}{ccccccc}2& -1& 0& 0& \cdots & 0& -1\\ -1& 2& -1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& 2& -1& \dots & 0& 0\\ 0& 0& -1& 2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 2& -1\\ -1& 0& 0& 0& \cdots & -1& 2\end{array}\right)$

${\tilde{A}}_1$의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

$\mathrm{Cartan}({\tilde{A}}_1)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 2\end{array}\right)$

${\tilde{A}}_n$의 딘킨 도표는 $n\ge 2$일 경우 $n+1$개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프이다.

Ã_2n⁽²⁾

$n\ge 2$일 때, ${\tilde{A}}_{2n}^{(2)}$의 카르탕 행렬은 다음과 같은 $(n+1)\times (n+1)$ 비대칭 정사각 행렬이다.

$\mathrm{Cartan}({\tilde{A}}_{2n}^{(2)})=\left(\begin{array}{ccccccc}2& -1& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ -2& 2& -1& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& -1& 2& \dots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2& -1& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & -1& 2& -1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& -2& 2\end{array}\right)$

여기서 행·열 $0,1,\dots ,n$의 순서는 다음과 같다.

${\alpha }_0\Rightarrow {\alpha }_1-\cdots -{\alpha }_{n-1}\Rightarrow {\alpha }_n$

${\tilde{A}}_2^{(2)}$의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

$\mathrm{Cartan}({\tilde{A}}_2^{(2)})=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -4& 2\end{array}\right)$

여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.

${\alpha }_0\stackrel{4}{\to }{\alpha }_1$

G̃₂와 D̃₄⁽³⁾

${\tilde{G}}_2$의 근계. 여기서 $\alpha ={\alpha }_2$는 $G_2$의 유일한 짧은 근, $\beta ={\alpha }_1$는 $G_2$의 유일한 긴 근이며, $\gamma =a_1{\alpha }_1+a_2{\alpha }_2=\delta$이다. 양근은 붉은 색으로, 음은은 푸른 색으로 표시되었다. 이에 대응하는 반사 ${\psi }_{\alpha }$, ${\psi }_{\beta }$, ${\psi }_{\gamma }$는 ${\tilde{G}}_2$의 바일 군을 생성하며, 바일 군의 기본 벽감(fundamental alcove)는 직각삼각형 $𝒞$이다.

${\tilde{G}}_2$의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

$\mathrm{Cartan}({\tilde{G}}_2)=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -3& 2\end{array}\right)$

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

${\alpha }_0-{\alpha }_1\Rrightarrow {\alpha }_2$

이다.

${\tilde{D}}_4^{(3)}$의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

$\mathrm{Cartan}({\tilde{D}}_4^{(3)})=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -3\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

${\alpha }_0-{\alpha }_1\Lleftarrow {\alpha }_2$

이다.

예

$𝔤=ℂ$가 1차원 아벨 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수

$ℂ[𝗓,{𝗓}^{-1}]$

역시 아벨 리 대수이다. 이 경우, 중심 확대

$0\to ℂ𝗄\to \widehat{𝔤}\to ℂ[𝗓,{𝗓}^{-1}]\to 0$

에서

$[{𝗓}^m,{𝗓}^n]={\delta }_{m+n,0}m𝗄$

$[𝗄,{𝗓}^m]=0$

이 된다. 이 경우,

${𝗓}^{-n}=\sqrt{n}{𝗉}_n(n>0)$

${𝗓}^n=\sqrt{n}{𝗊}_n(n>0)$

$𝗄=\hslash$

로 놓으면,

$[{𝗊}_m,{𝗉}_n]={\delta }_{m,n}\hslash$

가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수와 (${𝗓}^0$으로 생성되는) 1차원 아벨 리 대수의 직합이 된다.틀:Rp 특히, 이는 무한 차원 보손 포크 공간 $ℂ[{𝗑}_1,{𝗑}_2,\cdots ]$ 위에 표준적으로 작용한다.틀:Rp

이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.틀:Rp

${𝖫}_n=-\frac{1}{2}\sum _{m\in \mathbb{Z}}{𝗓}^{\min \{m,n-m\}}{𝗓}^{\max \{m,n-m\}}$

$𝖼=1$

물리학적으로, 이는 자유 보손에 대한 2차원 등각 장론에 해당한다.

역사

아핀 리 대수는 (다른 카츠-무디 대수와 함께) 빅토르 카츠와 로버트 무디(틀:Llang)가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군이 근계에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다.

스가와라 구성은 스가와라 히로타카(틀:Llang)가 1968년에 발견하였다. 공액 구성은 피터 고더드(틀:Llang, 1945〜) · 에이드리언 켄트(틀:Llang) · 데이비드 올리브(틀:Llang, 1937〜2012)가 1985년에 발견하였다.

외부 링크

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