유니터리 군

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 유니터리 군(틀:Llang)은 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 $U(n)$.

정의

복소수 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$가 주어졌을 때, 유니터리 군 $\mathrm{U}(\mathscr{H})$는 $\mathscr{H}$ 위의 유니터리 작용소들의 군이다.

만약 $\mathscr{H}$가 $n$ 차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은 $\mathrm{U}(n)$으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은 $n\times n$ 유니터리 행렬로 구성되는 리 군이다. 즉,

$\mathrm{U}(n)=\{M\in \mathrm{GL}(n,ℂ)|M^{†}M=1\}$

이다.

유니터리 리 대수

유니터리 군 $U(n)$은 $2n^2$차원 실수 리 군이다. 그 리 대수는

$𝔲(n)=𝔰𝔲(n)\oplus 𝔲(1)$

이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(틀:Lang)이므로, $𝔲(n)$는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.

성질

군론적 성질

유니터리 군 $\mathrm{U}(n)$의 중심은 다음과 같은 꼴의 대각 행렬이다.

$\lambda 1_{n\times n}(\lambda \in ℂ,|\lambda |=1)$

유니터리 행렬의 행렬식은 그 절댓값이 1인 복소수이다. 즉

$\det :U(n)\to U(1)$

인 군 준동형이 존재한다. 이에 대한 몫군은 특수 유니터리 군 $SU(n)$이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to SU(n)\hookrightarrow U(n)\stackrel{\det }{\to }U(1)\to 1$

리 이론적 성질

유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

$\{\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n):{\lambda }_i\in \mathrm{U}(1)\}\subset \mathrm{U}(n)$

이에 대하여 유니터리 군의 바일 군은 대칭군 $\mathrm{Sym}(n)$이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다.

위상수학적 성질

모든 양의 정수 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, 유니터리 군 $\mathrm{U}(n)$은 연결 실수 콤팩트 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다.

${\pi }_0(\mathrm{U}(n))=1$

${\pi }_1(\mathrm{U}(n))=\mathbb{Z}$

유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군과 호모토피 동치이다.

$\mathrm{U}(n)\simeq \mathrm{GL}(n;ℂ)$

호프 올뭉치

$\mathrm{U}(n)\hookrightarrow \mathrm{U}(n+1)\twoheadrightarrow {𝕊}^{2n+1}$

로 인하여, 만약 $i<2n$이라면

${\pi }_i(\mathrm{U}(n))\cong {\pi }_i(\mathrm{U}(n+1))$

이다.틀:Rp 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.틀:Rp

${\pi }_i(\mathrm{U}(n))=\{\begin{array}{cc}0& 2\mid i\\ \mathbb{Z}& 2\nmid i\end{array}(i<2n)$

이 주기성을 보트 주기성(틀:Llang)이라고 한다.

불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

군	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9	π10	π11	π12
U(1)	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
U(2)	ℤ	0	ℤ	ℤ2	ℤ2	ℤ12	ℤ2	ℤ2	ℤ3	ℤ15	ℤ2	(ℤ2)2
U(3)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	ℤ6
U(4)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ
U(5)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ
U(6)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ

이에 따라, 다음과 같은 무한 유니터리 군 $\mathrm{U}(\mathrm{\infty })$을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

$\mathrm{U}(\mathrm{\infty })=\underset{n}{\underrightarrow{\lim }}\mathrm{U}(n)$

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

${\pi }_i(\mathrm{U}(\mathrm{\infty }))=\{\begin{array}{cc}0& 2\mid i\\ \mathbb{Z}& 2\nmid i\end{array}$

이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간과 호모토피 동치이다.틀:Rp

$\mathrm{U}(\mathrm{\infty })\simeq {\mathrm{\Omega }}^2\mathrm{U}(\mathrm{\infty })$

무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$의 유니터리 군 $\mathrm{U}(\mathscr{H})$는 $\mathrm{U}(\mathrm{\infty })$와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, $\mathrm{U}(\mathscr{H})$는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.

${\pi }_i(\mathrm{U}(\mathscr{H}))=0\mathrm{\forall }i$

포함 관계

유니터리 군 U(1)은 원군이다. 이는 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원 ${𝕊}^1$이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab

같이 보기

• 특수 유니터리 군
• 직교군