곱 규칙

미적분학에서 곱 규칙(-規則, 틀:Llang) 또는 곱의 미분법 또는 라이프니츠 법칙(틀:Llang)은 함수의 곱의 미분을 구하는 공식이다.

정의

만약 두 함수 $f, g : I \to ℝ$ 가 $x_{0} \in I \subseteq ℝ$ 에서 미분 가능하다면, $f g$ 역시 $x_{0}$ 에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

(f g)^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) g (x_{0}) + f (x_{0}) g^{'} (x_{0})

이를 라이프니츠 표기법을 사용하여 쓰면 다음과 같다.

\frac{d}{d x} (f g) (x_{0}) = g \frac{d f}{d x} (x_{0}) + f \frac{d g}{d x} (x_{0})

선형 근사를 사용하여 쓰면 다음과 같다.

d (f g) |_{x = x_{0}} = (g d f + f d g) |_{x = x_{0}}

만약 함수 $f_{1}, \dots, f_{k} : I \to ℝ$ 가 $x_{0} \in I \subseteq ℝ$ 에서 미분 가능하다면, $f_{1} f_{2} \dots f_{k}$ 의 $x_{0}$ 에서의 미분은 다음과 같다.

(f_{1} f_{2} \dots f_{k})^{'} (x_{0}) = {f_{1}}^{'} (x_{0}) f_{2} (x_{0}) \dots f_{k} (x_{0}) + f_{1} (x_{0}) {f_{2}}^{'} (x_{0}) \dots f_{k} (x_{0}) + \dots f_{1} (x_{0}) f_{2} (x_{0}) \dots {f_{k}}^{'} (x_{0})

보다 일반적으로, 만약 $f, g$ 가 $n$ 계 도함수를 갖는다면, $f g$ 역시 $n$ 계 도함수를 가지며, 이는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 이항 계수이다.)

(f g)^{(n)} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n - k)} (x) g^{(k)} (x)

만약 $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{k}$ 가 $n$ 계 도함수를 갖는다면, $f_{1} f_{2} \dots f_{k}$ 의 $n$ 계 도함수는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 다항 계수이다.)

(f_{1} f_{2} \dots f_{k})^{(n)} (x) = \sum_{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k} \geq 0}^{n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = n} \frac{n!}{n_{1}! n_{2}! \dots n_{k}!} f_{1}^{(n_{1})} (x) f_{2}^{(n_{2})} (x) \dots f_{k}^{(n_{k})} (x)

두 함수 $f, g : U \to ℝ$ 가 $𝐱_{0} \in U \subseteq ℝ^{n}$ 에서 변수 $x_{i}$ 에 대한 편미분이 존재한다고 하자. 그렇다면 $f g$ 역시 그러하며, 그 $x_{i}$ 에 대한 편미분은 다음과 같다.

\frac{\partial}{\partial x_{i}} (f g) (𝐱_{0}) = g (𝐱_{0}) \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (𝐱_{0}) + f (𝐱_{0}) \frac{\partial g}{\partial x_{i}} (𝐱_{0})

함수 f를 $f (x) = g (x) h (x)$ 로 정의한다. 이때 $f^{'} (x)$ 를 도함수의 정의에 따라 구하면,

f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

= \lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) h (x + Δ x) - g (x) h (x)}{Δ x}

= \lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x) h (x + Δ x) - g (x) h (x) + g (x + Δ x) h (x + Δ x) - g (x) h (x + Δ x)}{Δ x}

= \lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x) (h (x + Δ x) - h (x)) + h (x + Δ x) (g (x + Δ x) - g (x))}{Δ x}

= \lim_{Δ x \to 0} (g (x) \frac{h (x + Δ x) - h (x)}{Δ x} + h (x + Δ x) \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x})

여기에서 $h (x)$ 는 $x$ 에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.

\lim_{Δ x \to 0} h (x + Δ x) = h (x)

따라서 다음의 결과가 나온다.

f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} [g (x) (\frac{h (x + Δ x) - h (x)}{Δ x}) + h (x + Δ x) (\frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x})]

= [\lim_{Δ x \to 0} g (x)] [\lim_{Δ x \to 0} \frac{h (x + Δ x) - h (x)}{Δ x}] + [\lim_{Δ x \to 0} h (x + Δ x)] [\lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}]

= g (x) h^{'} (x) + h (x) g^{'} (x)