3차원 직교군

틀:위키데이터 속성 추적 3차원 직교군(三次元直交群, 틀:Llang)은 3차원 유클리드 공간의 회전 및 반사로 구성되는 리 군이다.

정의

3차원 직교군 $\mathrm{O}(3;ℝ)$는 3×3 실수 직교 행렬들로 구성된 리 군이다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

• 3차원 특수직교군 $\mathrm{SO}(3;ℝ)$. 3×3 실수 직교 행렬의 행렬식은 ±1이며, 이 가운데 행렬식이 +1인 것들은 $\mathrm{O}(3;ℝ)$의 부분군을 이룬다. 이 부분군을 $\mathrm{SO}(3;ℝ)$라고 한다.
• 2차원 사영 특수 유니터리 군 $\mathrm{PSU}(2)$.
• 3차원 사영 특수직교군 $\mathrm{PSO}(3;ℝ)$. 차원이 홀수이므로 사영 직교군은 특수직교군과 같다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

• 2차원 특수 유니터리 군 $\mathrm{SU}(2)$는 2×2 복소수 유니터리 행렬 가운데, 행렬식이 1인 것들로 구성된 리 군이다.
• 3차원 스핀 군 $\mathrm{Spin}(3)$
• 1차원 심플렉틱 군 $\mathrm{Sp}(1)=\mathrm{USp}(2)\cong \{x\in ℍ:\Vert x\Vert =1\}$. 이는 노름이 1인 사원수들의 곱셈군이다.

복소수 표현

다음과 같은 두 겹 피복이 존재한다.

$\mathrm{SU}(2)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(3)$

즉, $\mathrm{SU}(2)$는 3차원 스핀 군 $\mathrm{Spin}(3)$과 동형이다. 이 피복 사상은 다음과 같다.

$\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\overline{\beta }& \overline{\alpha }\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}({\alpha }^2-{\beta }^2+{\overline{\alpha }}^2-{\overline{\beta }}^2)& \frac{i}{2}(-{\alpha }^2-{\beta }^2+{\overline{\alpha }}^2+{\overline{\beta }}^2)& -\alpha \beta -\overline{\alpha }\overline{\beta }\\ \frac{i}{2}({\alpha }^2-{\beta }^2-{\overline{\alpha }}^2+{\overline{\beta }}^2)& \frac{1}{2}({\alpha }^2+{\beta }^2+{\overline{\alpha }}^2+{\overline{\beta }}^2)& -i(+\alpha \beta -\overline{\alpha }\overline{\beta })\\ \alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta & i(-\alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta )& \alpha \overline{\alpha }-\beta \overline{\beta }\end{array}\right)$

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 우선, $\mathrm{SO}(3)$는 2차원 구 ${𝕊}^2$ 위에 등거리 사상으로 구성된 표준적인 충실한 표현을 가진다. 또한, ${𝕊}^2$는 리만 구 $\widehat{ℂ}$로 해석할 수 있으며, 이 경우 구의 등거리 자기 동형은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

$\iota :\mathrm{SO}(3)\hookrightarrow \mathrm{PSL}(2;ℂ)$

이 경우, $\iota$의 상은 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들이다.

$z\mapsto \frac{\alpha z+\beta }{-\overline{\beta }z+\overline{\alpha }}$

마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

${\iota }^{\prime }:\mathrm{PSU}(2)\hookrightarrow \mathrm{PSL}(2;ℂ)$

${\iota }^{\prime }:\pm \left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\overline{\beta }& \overline{\alpha }\end{array}\right)\mapsto (z\mapsto \frac{\alpha z+\beta }{-\overline{\beta }z+\overline{\alpha }})$

따라서, 이는 동형 $\mathrm{PSU}(2)\cong \mathrm{SO}(3)$를 정의한다.

사원수 표현

동형 $\mathrm{SU}(2)\cong \mathrm{Sp}(1)$은 다음과 같이 이해할 수 있다. $\mathrm{Sp}(1)$은 정의에 따라 노름이 1인 사원수들로 구성된다. 주어진 사원수에 대응하는 2×2 특수 유니터리 행렬은 다음과 같다.

$\mathrm{Sp}(1)\mapsto \mathrm{SU}(2)$

$a+ib+jc+kd\mapsto \left(\begin{array}{cc}a+ib& -c+id\\ c+id& a-ib\end{array}\right)$

마찬가지로, 두 겹 피복군 $\mathrm{Sp}(1)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(3)$는 다음과 같이 이해할 수 있다.

$\mathrm{Sp}(1)\mapsto \mathrm{SO}(3)$

$a+ib+jc+kd\mapsto \left(\begin{array}{ccc}1-2c^2-2d^2& 2bc-2da& 2bd+2ca\\ 2bc+2da& 1-2b^2-2d^2& 2cd-2ba\\ 2bd-2ca& 2cd+2ba& 1-2b^2-2c^2\end{array}\right)$

이는 $(b,c,d)$를 축으로 하여, 각도 $2\theta$만큼 회전하는 행렬이며, 여기서 각도 $\theta$는 다음과 같다.

$\cos (\theta )=a$

$|\sin (\theta )|=\Vert a+ib+jc+kd\Vert =\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$

즉, 단위 사원수 집합을 4차원 극좌표계 $(r,\theta ,\varphi ,\chi )$로 나타내었을 때, $\theta$는 극각에 해당한다.. 이 경우, 사원수 $a+ib+jc+kd$와 $-a-ib-jc-kd$가 같은 직교 행렬에 대응하므로, 이는 2겹 피복임을 알 수 있다.

이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터 $(t,x,y,z)$를 사원수 $v=t+ix+iy+iz$로 나타내자. 그렇다면, 4차원 회전 $\mathrm{SO}(4)\cong (\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2))/(\mathbb{Z}/2)$의 작용은 다음과 같이 생각할 수 있다. 각 $\mathrm{SU}(2)$의 원소를 단위 사원수 $q_1$, $q_2$로 나타낸다면, 4차원 회전은 다음과 같다.

$v\mapsto q_{1}v{q}_2$

여기서 $\mathbb{Z}/2$에 대한 몫군을 취하는 것은 $(q_1,q_2)$와 $(-q_1,-q_2)$가 같은 작용을 갖기 때문이다.

3차원 공간의 회전은 이 작용에서, $t$축의 안정자군이다. $t$축이 고정될 조건은 $q_1{q}_2=1$인 것이며, 따라서 $q_1=q_2^{-1}={\overline{q}}_2$이다. 즉, $\mathrm{SO}(3)\cong \mathrm{Sp}(1)/(\mathbb{Z}/2)$의 작용은 다음과 같다.

$v\mapsto qv\overline{q}(q\in ℍ,\Vert q\Vert =1)$

여기서 $\mathbb{Z}/2$에 대한 몫군을 취하는 것은 $\pm q$가 같은 작용을 갖기 때문이다.

리 대수

$\mathrm{SU}(2)$의 리 대수 $𝔰𝔲(2)$의 기저는 파울리 행렬 $\frac{1}{2}{\sigma }^i$로 주어진다.

$[\frac{1}{2}{\sigma }^i,\frac{1}{2}{\sigma }^j]={ϵ}_{ijk}\frac{1}{2}{\sigma }^k$

$\mathrm{SO}(3)$의 리 대수 $𝔰𝔬(3)$의 기저는 무한소 3차원 회전 $L_i$로 다음과 같이 주어진다.

$L_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

$L_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$

$L_3=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

$L_i$는 $i$번째 축에 대한 무한소 회전이며, 다음과 같은 구조 상수를 갖는다.

$[L_i,L_j]={ϵ}_{ijk}{L}^k$

이 경우, 리 대수의 동형 $\mathrm{su}(2)\cong \mathrm{so}(3)$는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

$\frac{1}{2}{\sigma }^1\mapsto L_i$

성질

대수학적 성질

$\mathrm{SU}(2)$의 중심은 $\{\pm 1_{2\times 2}\}$이며, 이에 대하여 몫군을 취하면 $\mathrm{PSU}(2)\cong \mathrm{SO}(3)$를 얻는다.

SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다.

위상수학적 성질

$\mathrm{SU}(2)$와 $\mathrm{SO}(3)$는 둘 다 콤팩트 연결 3차원 매끄러운 다양체이다.

$\mathrm{SU}(2)$는 위상수학적으로 3차원 초구 ${𝕊}^3$이다. (초구에 리 군의 구조를 줄 수 있는 경우는 0·1·3차원밖에 없다.) 이는 콤팩트 단일 연결 공간이다.

$\mathrm{SO}(3)\cong \mathrm{PSU}(2)$는 위상수학적으로 3차원 실수 사영 공간 ${ℝ\mathbb{P}}^3\cong {𝕊}^3/(\mathbb{Z}/2)$이다. 여기서 $\mathbb{Z}/2$에 대한 몫공간을 취하는 것은 대척점을 이어붙이는 것과 같다.

$\mathrm{O}(3)$는 두 개의 연결 성분을 가진다. 이는 행렬식이 ±인 직교 행렬들로 구성된다.

표현론

$\mathrm{SU}(2)$의 유한 차원 표현은 차원에 따라 완전히 분류된다. 즉, 주어진 차원 $n=0,1,2,\dots$에 대하여, (동형 아래) 유일한 $n$차원 복소수 표현이 존재하며, 이는 유니터리 표현이다. 만약 $n$이 짝수인 경우, 이는 $n$차원 실수 표현으로 나타낼 수 있다. 양자역학에서, $n$차원 표현은 스핀 $(n-1)/2$ 표현으로 일컬어진다.

$\mathrm{SO}(3)$의 유한 차원 표현들은 $\mathrm{SU}(2)$의 $n$차원 표현들 가운데, $n$이 홀수인 것들이다. 예를 들어, $n=3$인 경우는 $\mathrm{SO}(3)$를 정의하는, 3차원 유클리드 공간 위의 특수 직교 행렬로서의 표현이다.

외부 링크

• 틀:매스월드
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• 틀:웹 인용
• 틀:수학노트
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같이 보기

• 클렙슈-고르단 계수
• 구면 조화 함수
• 오일러 각
• 스핀
• 2차원 실수 특수선형군
• 원군
• 로런츠 군