텐서 대수

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 텐서 대수(tensor代數, 틀:Llang)는 어떤 벡터 공간 또는 가군 위의 원소들로부터 생성되는 비가환 다항식들로 구성되는 등급 단위 결합 대수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $V$ 위의 텐서 대수 $T (V)$ 는 다음과 같은 $K$ 위의 등급 가군이다.

T (V) = ⨁_{n = 0}^{\infty} \overset{n}{\overset{⏞}{V \otimes_{K} V \otimes_{K} \dots \otimes_{K} V}} = K \oplus V \oplus V \otimes_{K} V \oplus \dots

T^{n} (V) = \overset{n}{\overset{⏞}{V \otimes_{K} V \otimes_{K} \dots \otimes_{K} V}}

이 위에는 다음과 같은 자연스러운 쌍선형 이항 연산이 존재한다.

\otimes : T^{m} (V) \times T^{n} (V) \to T^{m + n} (V)

\otimes : ((u_{1} \otimes \dots \otimes u_{m}), (v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n})) \mapsto u_{1} \otimes \dots u_{m} \otimes v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n} \in T^{m + n} (V)

이는 결합 법칙을 만족시키고, 또 항등원 $1_{K} \in K = T^{0} (V)$ 을 갖는다. 따라서, 텐서 대수는 $K$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

텐서 대수 $T (V)$ 위에는 다음과 같이 호프 대수의 구조가 존재한다. 여기서 $Δ$ 는 쌍대곱, $S$ 는 앤티포드이다.

Δ (v_{1} \otimes \dots \otimes v_{m}) = \sum_{p = 0}^{m} \sum_{σ \in Sh (p, m - p)} (v_{σ (1)} \otimes \dots \otimes v_{σ (p)}) \otimes (v_{σ (p + 1)} \otimes \dots \otimes v_{σ (m)})

S (v_{1} \otimes \dots \otimes v_{m}) = (- 1)^{m} v_{m} \otimes \dots \otimes v_{1}

여기서 $Sh (p, m - p) \subseteq Sym (p)$ 는 $(p, m - p)$ -셔플 순열의 집합이다.

집합 ${x_{i}}_{i \in I}$ 에 의하여 생성되는, 가환환 $K$ 위의 자유 단위 결합 대수는 자유 가군 $K^{\oplus | I |}$ 위의 텐서 대수와 같으며, 비가환 다항식 대수(틀:Llang)라고 하며, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

K ⟨ x_{i} ⟩_{i \in I} = T (K^{\oplus | I |})

비가환 다항식 대수의 원소들은 다항식환 (자유 가환 단위 결합 대수) $K [x_{i}]_{i \in I}$ 과 유사하지만, $i \neq j$ 라면 $x_{i} x_{j} \neq x_{j} x_{i}$ 이다.