자기 동형 사상

두 케일리 그래프 간의 자기 동형 사상, 주기 표기법의 순열 및 두 케일리 표 사이의 함수로 표시된 클라인 4원군의 자기 동형 사상.

수학에서 자기 동형 또는 자기 동형 사상(自己同型寫像, 틀:Llang)은 수학적 대상의 자기 사상인 동형 사상이다. 대상의 모든 구조를 유지하면서 대상을 자기 자신으로 사상하므로 이는 대상의 대칭을 나타낸다고 할 수 있다. 대상의 모든 자기 동형 사상의 집합은 그 대상의 대칭군이라고 할 수 있는 자기동형군을 형성한다.

정의

범주 $𝒞$의 자기 동형 사상은 자기 사상인 동형 사상이다. 즉, $X$의 자기 사상 $f:X\to X$가 자기 동형 사상이라는 것은 $f\circ g=g\circ f={\mathrm{id}}_X$를 만족하는 사상 $g:X\to X$이 존재한다는 것을 의미한다.

국소적으로 작은 범주 $𝒞$에서 대상 $X$의 자기 동형 사상들은 사상의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이 군에서, 항등원은 항등 사상이며, 역원은 역사상이다. 이를 자기 동형군(自己同型群, 틀:Llang)이라고 하고, $\mathrm{Aut}(X)$로 쓴다. 즉, 자기 동형군 $\mathrm{Aut}(X)$는 $X$의 자기 사상 모노이드 $\mathrm{End}(X)$의 가역원들로 구성된 부분 모노이드이다.

예

• 주어진 부호수의 대수 구조와 그 준동형의 구체적 범주 (또는 그 충만한 부분 범주)에서, 자기 동형 사상은 단순히 전단사 함수인 자기 준동형이다.
  • 집합의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 함수(순열)이며, 집합 $S$의 자기 동형군은 대칭군 $\mathrm{Sym}(S)$이라고 한다.
  • 체 $K$ 위의 벡터 공간의 범주 $K\text{-Vect}$에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 선형 변환이며, 벡터 공간 $V$의 자기 동형군은 일반선형군 $\mathrm{GL}(V;K)$이다.
  • 군의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 군 준동형이다. 이는 구조가 변경되지 않은 상태로 유지되는 군 원소의 순열이라고 할 수 있다. 모든 군 $G$에 대해 상이 내부 자기 동형군 $\mathrm{Inn}(G)$이고 핵이 중심 $\mathrm{Z}(G)$인 자연스러운 군 준동형 $G\to \mathrm{Aut}(G)$가 존재한다. 따라서 $G$의 중심이 자명하다면, $G$는 자신의 자기동형군의 부분군으로 여길 수 있다. 이 경우 자기 동형군 $\mathrm{Aut}(G)$의 중심 역시 자명하므로, 위 과정을 반복하여 자기 동형탑을 만들 수 있다. 자명한 중심을 갖는 유한군의 자기 동형탑은 무한히 커지지 않음을 보일 수 있다.
• 갈루아 확대의 자기 동형군은 갈루아 군이라고 한다.
• 모노이드 $M$을 하나의 대상 $\bullet$을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군 $\mathrm{Aut}(\bullet )$은 $M$의 가역원들의 군
  $\{m\in M:\mathrm{\exists }n\in M:mn=nm=1\}$
  이다. 특히, 만약 $M$이 군이라면, $\mathrm{Aut}(\bullet )\cong M$이다.
• 정수의 덧셈군 $\mathbb{Z}$는 유일한 비항등 자기 동형 사상 $1\mapsto -1$을 갖는다. 그러나 환으로서의 $\mathbb{Z}$는 항등 자기 동형 사상만 갖는다. 덧셈 역원을 취하는 함수는 모든 아벨 군의 자기 동형 사상이지만, 환이나 체에서는 일반적으로 (표수가 2가 아닌 경우) 자기 동형 사상이 아니다.
• 체(와 환 준동형)의 범주에서, 체 자기 동형 사상은 전사 자기 환 준동형이며, 이는 자동적으로 전단사 함수가 된다. 유리수체 $\mathbb{Q}$와 실수체 $ℝ$의 경우 항등이 아닌 자기 동형은 존재하지 않는다. $ℝ$의 일부 부분체는 비항등 자기 동형을 갖는다. 예를 들어, $a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$ ($a,b\in \mathbb{Q}$)는 이차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$의 자기 동형이다. 그러나 이러한 부분체의 자기 동형은 $ℝ$에서 제곱근이 있는 수의 성질을 유지할 수 없기 때문에 $ℝ$ 전체로 확장되지는 않는다. 복소수체 $ℂ$의 자기 동형 사상은 체의 확대 $ℂ/\mathbb{Q}$의 자기 동형 사상과 동치이다. $ℝ$을 $ℝ$로 보내는 $ℂ$의 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수 밖에 없으며, 이 둘은 유일한 $ℂ$의 연속 자기 동형 사상이기도 하다. 선택 공리를 가정하면, $ℂ$의 임의의 부분체의 임의의 자기 동형 사상은 $ℂ$의 자기 동형 사상으로 확장될 수 있으며, 또한 자기 동형들의 집합의 크기는 $2^{2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$이다.
• 사원수 $ℍ$의 환 자기 동형 사상은 스콜렘-뇌터 정리에 의해 내부 자기 동형 사상이 된다. 즉, 자기 동형 사상은 어떤 원소 $b$에 대해 $a\mapsto ba{b}^{-1}$ 형식을 갖는다. 사원수의 자기동형군은 3차원 공간에서의 회전군인 SO(3)과 동형이다.
• 팔원수 $𝕆$의 자기동형군은 예외적 리 군 G₂이다.
• 그래프(와 그래프 준동형)의 범주에서, 그래프의 자기 동형 사상은 변과 변이 아닌 것을 보존하는 꼭짓점의 순열이다. 특히 두 꼭짓점이 변으로 연결되면 순열에 의한 상도 연결되어 있다.
• 기하학에서 자기 동형 사상은 공간의 운동이라고 할 수 있다. 몇몇 특수한 상황에서 사용되는 용어는 다음과 같다.
  • 거리 공간과 등거리변환의 범주에서, 자기 동형 사상은 전사 자기 등거리변환이다. 이는 자동으로 전단사 함수가 되며, 역함수 역시 등거리변환이다. 유클리드 공간 ${ℝ}^n$의 거리 공간으로서의 자기 동형군은 유클리드 군 $\mathrm{IO}(n)$이다.
  • 리만 곡면(과 정칙 함수)의 범주에서, 자기 동형 사상은 자기 쌍정칙 함수(등각 사상)이다. 예를 들어, 리만 구의 자기 동형 사상은 뫼비우스 변환이다.
  • 매끄러운 다양체(와 매끄러운 함수)의 범주에서, 매끄러운 다양체 $M$의 자기 동형 사상은 자신으로의 미분 동형 사상이며, 그 자기동형군은 흔히 $\mathrm{Diff}(M)$으로 표기한다.
  • 위상 공간(과 연속 함수)의 범주에서, 위상 공간의 자기 동형 사상은 자신으로의 위상 동형 사상이다. 이때 전단사 연속 함수는 위상 동형 사상이 되기 위한 충분 조건이 아니다.

체의 확대

임의의 체 $K$가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주 $K\mathrm{\setminus }\mathrm{Field}$를 정의할 수 있다.

• $K\mathrm{\setminus }\mathrm{Field}$의 대상은 체의 확대 $L/K$들이다.
• $K$의 확대 $L/K$와 $L^{\prime }/K$ 사이의 사상은 $K$-대수 단사 준동형 $L\to L^{\prime }$이다. (단사 조건은 가정하지 않더라도 자동적으로 성립한다.)

이 범주에서, $L/K$의 자기 동형 사상은 $K$-대수 동형 $L\to L$이다. $L/K$가 대수적 확대일 때, 모든 $K$-대수 단사 준동형 $L\to L$은 $K$-대수 동형이다. 즉, 자동적으로 전사 함수가 된다.틀:Rp 틀:증명 임의의 체의 확대 $L/K$ 및 $K$-대수 단사 준동형 $\sigma :L\to L$ 및 $a\in L$에 대하여, $a\in \sigma (L)$임을 보이면 족하다. $p\in K[x]$가 $a$의 최소 다항식이라고 하고, $S$가 $p(x)$의 $L$ 속의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면 $K(S)/K$는 대수적 확대이자 유한 생성 확대이며, 따라서 유한 확대이다. 즉, $K(S)$의 $K$-벡터 공간 차원은 유한하다. $\sigma$는 $p$의 근을 $p$의 근으로 보내므로, $\sigma (K(S))\subseteq K(S)$이다. $\sigma$는 단사 $K$-선형 변환이므로, $\sigma (K(S))$와 $K(S)$의 차원은 같다. 따라서, $\sigma (K(S))=K(S)\supseteq S\ni a$이다. 틀:증명 끝

역사

최초의 군 자기 동형 사상(단순히 점의 자기동형군이 아닌 군의 자기 동형) 중 하나는 아일랜드 수학자 윌리엄 로언 해밀턴이 1856년 그의 정이십면체 대수(en:icosian calculus)에서 발견한 2차 자기 동형 사상이다.

$\mu$

는 항등원의 새로운 5제곱근이고, 이전의 5제곱근

$\lambda$

과 완전한 상호 관계(perfect reciprocity)로 연결되어 있다.

내부 및 외부 자기 동형 사상

일부 범주(특히 군, 환, 리 대수)에서 자기 동형 사상을 "내부" 및 "외부" 자기 동형 사상의 두 가지 유형으로 분리할 수 있다.

군의 경우, 내부 자기 동형 사상은 군 원소에 의해 만들어지는 켤레이다. 군 $G$의 각 원소 $a$에 대해 $a$에 의한 켤레 ${\phi }_a:G\to G$는 ${\phi }_a(g)=ag{a}^{-1}$으로 주어지는 연산이다. (대신 $a^{-1}ga$을 사용할 수도 있다.) $a$에 의한 켤레는 군 자기 동형 사상임을 쉽게 확인할 수 있다. Goursat의 보조정리에 따르면, 내부 자기 동형 사상은 $\mathrm{Aut}(G)$의 정규 부분군을 형성한다. 이는 $\mathrm{Inn}(G)$으로 표기한다.

내부 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상은 외부 자기 동형 사상이다. 몫군 $\mathrm{Aut}(G)/\mathrm{Inn}(G)$은 일반적으로 $\mathrm{Out}(G)$으로 표기한다. 비자명한 원소는 외부 자기 동형을 포함하는 잉여류이다.

단위원을 갖는 환 또는 대수에서 가역원 $a$에 대해 같은 정의를 적용할 수 있다. 리 대수의 경우 정의가 약간 다르다.

같이 보기

• 반 자기 동형 사상
• Automorphism (스도쿠 퍼즐에서)
• 특성 부분군
• 자기준동형환
• 프로베니우스 사상
• 사상
• 순서 자기 동형 (순서론에서).
• 관계 보존 자기 동형 사상
• 분수 푸리에 변환

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
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• 틀:웹 인용
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