갈루아 군

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 갈루아 군(Galois群, 틀:Llang)은 특정한 종류의 체의 확대에 대응되는 군이다. 갈루아 이론은 갈루아 군을 이용해 체의 확대 (및 이를 생성하는 다항식)을 연구하는 분야이다.

정의

체의 확대 $L / K$ 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 체 $L$ 의 자기 동형 $f : L \to L$ 가운데 $f (k) = k \forall k \in K$ 인 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대 $L / K$ 의 자기 동형군 $Aut (L / K)$ 라고 한다.

만약 $L / K$ 가 갈루아 확대일 경우, 그 자기 동형군을 갈루아 군 $Gal (L / K)$ 이라고 한다.

체 $K$ 의 분해 가능 폐포 $K^{sep}$ 의 자기 동형군 $Gal (K^{sep} / K)$ 을 절대 갈루아 군(틀:Llang) $Gal K$ 이라고 한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼 $Spec K$ 의 에탈 기본군과 표준적으로 동형이다.

Gal K ≅ π_{1}^{\overset{´}{e} t} (Spec K)

$K^{sep} / K$ 는 최대 갈루아 확대이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군이다.

갈루아 군의 위상

갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가져 위상군이 된다. 구체적으로, 갈루아 확대 $L / K$ 에 대하여, 그 부분 확대들의 격자 $Sub (L / K)$ 및 갈루아 부분 확대들의 격자

S u b_{Gal} (L / K) \subset Sub (L / K)

를 정의하자. 그렇다면, 갈루아 군 $Gal (L / K)$ 은 다음과 같이 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있다.

Gal (L / K) = {\lim_{\leftarrow}}_{M \in S u b_{Gal} (L / K)}^{[M : K] < ℵ_{0}} Gal (M / K)

이와 같이 유한군의 역극한으로 나타내어지는 위상군을 사유한군이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 크룰 위상(틀:Llang)이라고 한다.

성질

갈루아 이론의 기본 정리(틀:Llang)에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다.

체론	군론
$K^{sep} / K$ 의 부분 확대 $L / K$	절대 갈루아 군의 닫힌 부분군 $Gal (K^{sep} / L) \leq Gal K$
$K^{sep} / K$ 의 유한 부분 확대 $L / K$	절대 갈루아 군의 열린닫힌 부분군 $Gal (K^{sep} / L) \leq Gal K$
유한 확대 $L / K$ 에서, $K$ 를 고정시키는 매장 $L ↪ K^{sep}$	$Gal (K^{sep} / L) \leq Gal K$ 의 (왼쪽) 잉여류
갈루아 확대 $L / K$	절대 갈루아 군의 닫힌 정규 부분군 $Gal (K^{sep} / L) ⊲ Gal K$
$K^{sep} / K$ 의 부분 확대 $L / K$ 의 켤레 확대(틀:Llang) $σ (L) / K$	$Gal (K^{sep} / L)$ 의 켤레 부분군 $Gal (K^{sep} / σ (L)) = σ Gal (K^{sep} / L) σ^{- 1}$

이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

갈루아 코호몰로지

갈루아 군의 군 코호몰로지는 여러 흥미로운 정보들을 담고 있다. 이는 또한 $K$ 의 스펙트럼 $Spec K$ 의 에탈 코호몰로지와 같다.

체의 확대 $L / K$ 가 주어졌을 때, 자기 동형군 $Aut (L / K)$ 는 정의에 따라 $L$ 위에 자연스럽게 작용하며, $(L, +)$ 은 군환 $ℤ [Aut (L / K)]$ 위의 가군을 이룬다.

(n_{1} g_{1} + n_{2} g_{2} + \dots + n_{k} g_{k}) \cdot a = n_{1} g_{1} (a) + n_{2} g_{2} (a) + \dots + n_{k} g_{k} (a) \forall g_{1}, \dots, g_{k} \in Aut (L / K), n_{1}, \dots, n_{k} \in ℤ

가법 힐베르트 90번 정리(加法Hilbert九十番定理, 틀:Llang)에 따르면, 유한 갈루아 확대 $L / K$ 에 대하여, $L$ 계수의 고차 군 코호몰로지는 자명군이다.

H^{n} (Gal (L / K); L) = {\begin{matrix} K & n = 0 \\ 0 & n > 0 \end{matrix}

(이는 정규 기저 정리(틀:Llang)로부터 증명할 수 있다.)

체의 확대 $L / K$ 가 주어졌을 때, 자기 동형군 $Gal (L / K)$ 는 가역원군 $L^{\times}$ 위에 자연스럽게 작용하며, $L^{\times}$ 는 군환 $ℤ [Gal (L / K)]$ 위의 가군을 이룬다.

(n_{1} g_{1} + n_{2} g_{2} + \dots + n_{k} g_{k}) \cdot a = (g_{1} (a))^{n_{1}} (g_{2} (a))^{n_{1}} \dots (g_{k} (a))^{n_{k}} \forall g_{1}, \dots, g_{k} \in Gal (L / K), n_{1}, \dots, n_{k} \in ℤ

승법 힐베르트 90번 정리(乘法Hilbert九十番定理, 틀:Llang)에 따르면, 유한 확대 $L / K$ 의 자기 동형군 $Aut (L / K)$ 가 유한군이라면, $L^{\times}$ 계수의 1차 군 코호몰로지는 자명군이다.

H^{1} (Gal (L / K); L^{\times}) = 0

(이 경우 $L / K$ 가 갈루아 확대라고 가정할 필요가 없다.)

예

임의의 체 $K$ 에 대하여, $Gal (K / K)$ 는 자명군이다.
$Gal (ℚ (\sqrt{2}) / ℚ)$ 은 두 개의 원소를 가지며, 이는 항등 함수와 $a + b \sqrt{2} \mapsto a - b \sqrt{2}$ 이다.

모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다.

3차 다항식

임의의 체 $K$ 및 3차 기약 다항식 $f \in K [x]$ 에 대하여, 만약 $char K \neq 2, 3$ 이라면, $f$ 의 분해체는 $K$ 의 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 다음과 같다.^[1]틀:Rp

Gal (f) ≅ {\begin{matrix} Sym (3) & \sqrt{disc (f)} \in̸ ℚ \\ Cyc (3) & \sqrt{disc (f)} \in ℚ \end{matrix}

여기서 $disc (f)$ 는 $f$ 의 판별식이다.

절대 갈루아 군의 예

대수적으로 닫힌 체 $K$ 의 절대 갈루아 군 $Gal (K / K)$ 은 자명군이다.
실수체의 절대 갈루아 군 $Gal (ℂ / ℝ)$ 는 두 개의 원소를 갖는다. 그 둘은 항등 함수와 복소 공액 사상 $z \mapsto \bar{z}$ 이다. (실수체는 완전체이므로, 그 분해 가능 폐포는 대수적 폐포와 같다.)
유리수체의 절대 갈루아 군 $Gal (ℂ / ℚ)$ 는 무한군이다. 유리수체의 절대 갈루아 군의 직접적인 묘사는 알려져 있지 않다. 다만, 벨리의 정리(틀:Llang)에 따르면 유리수체의 절대 갈루아 군은 데생당팡의 집합 위에 자연스러운 충실한 작용을 갖는다.

아르틴-슈라이어 정리(틀:Llang)에 따르면, 절대 갈루아 군 가운데 유한군인 것은 자명군과 2차 순환군 $ℤ / 2$ 밖에 없다. 즉, 모든 절대 갈루아 군은 위 세 가지의 예와 비슷하다.

같이 보기

참고 문헌

↑ 틀:서적 인용

외부 링크

[Lang-1] 틀:서적 인용

[1]

갈루아 군

목차

정의

갈루아 군의 위상

성질

갈루아 코호몰로지

예

3차 다항식

절대 갈루아 군의 예

같이 보기

참고 문헌

외부 링크

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갈루아 군

정의

갈루아 군의 위상

성질

갈루아 코호몰로지

예

3차 다항식

절대 갈루아 군의 예

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