핵 (수학)

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 어떤 사상의 핵(核, 틀:Lang)은 0의 원상의 포함 사상으로 생각할 수 있는 특별한 단사 사상이다. 범주론을 통해 추상적으로 정의할 수 있으나, 적절한 조건을 만족시키는 구체적 범주에서는 특정 원소의 원상의 포함 함수가 된다.

정의

영 사상을 갖는 범주 $𝒞$ 속의 사상 $f:X\to Y$의 핵 $\ker f:K\to X$은 다음과 같은 영 사상과의 동등자이다.

$\ker f=\mathrm{eq}\{f,0_{XY}\}$

영 대상을 갖는 범주 속의 사상 $f$에 대하여, $f=\ker g$인 $g$가 존재한다면 $f$를 정규 단사 사상(正規單射寫像, 틀:Llang)이라고 한다. "정규"라는 용어는 군론의 정규 부분군에서 유래하였다. 임의의 영 대상을 갖는 범주에서, 정규 단사 사상은 (동등자이므로) 단사 사상이다.

모든 단사 사상이 정규 단사 사상인 영 사상을 갖는 범주를 정규 범주(正規範疇, 틀:Llang)라고 한다.

성질

준가법 범주 (아벨 군의 모노이드 범주 $\mathrm{Ab}$ 위의 풍성한 범주)에서, 두 사상의 동등자는 그 차의 핵과 같다.

$\mathrm{eq}\{f,g\}=\ker (f-g)$

아벨 범주에서 모든 사상은 핵을 가지며, 모든 단사 사상은 정규 단사 사상이다. 구체적으로, 아벨 범주에서 모든 단사 사상은 그 여핵의 핵과 같으며, 모든 전사 사상은 그 핵의 여핵과 같다.

예

벡터 공간과 가군

환 $R$ 위의 왼쪽 가군의 범주 $R\text{-Mod}$는 영 사상을 갖는 범주이며, 이 범주에서 모든 사상(가군 준동형)은 핵을 갖는다. 구체적으로, $f:M\to N$의 핵 $\ker f:K\hookrightarrow M$는 다음과 같은 포함 함수이다.

$K=\{m\in M:f(m)=0_N\}$

$R\text{-Mod}$에서 모든 단사 사상은 정규 단사 사상이다. 이는 (군이나 유사환의 경우와 달리) 임의의 부분 가군에 대한 몫가군을 정의할 수 있기 때문이다.

특히, 선형대수학에서 $R$가 체일 경우, 체 위의 가군들은 벡터 공간이며, 벡터 공간의 범주에서는 핵이 존재한다. 특히, 행렬은 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환을 정의하며, 행렬의 핵은 벡터 공간의 범주에서의 핵이다. 선형대수학에서 핵은 영공간(零空間, 틀:Llang)이라고 불리기도 한다.

군

군과 군 준동형의 범주 $\mathrm{Grp}$에서, 영 사상은 1(군 연산의 항등원)로 가는 상수 함수이다. $\mathrm{Grp}$에서 모든 사상(군 준동형)은 핵을 갖는다. 구체적으로, $f:G\to H$의 핵 $\ker f:K\hookrightarrow G$는 다음과 같은 포함 함수이다.

$K=\{g\in G:f(g)=0_H\}$

이 경우, $K$는 $G$의 정규 부분군을 이룬다.

군의 범주에서, 임의의 군 준동형 $f:G\to H$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 정규 단사 사상이다.
• $f$는 단사 함수이며, 그 상 $f(G)\le H$는 $H$의 정규 부분군이다.

아벨 군과 군 준동형의 범주 $\mathrm{Ab}$에서, 영 사상과 핵은 $\mathrm{Grp}$에서와 같다. 즉, 영 사상은 0(군 연산의 항등원)으로 가는 상수 함수이며, 핵은 0의 원상으로 가는 포함 함수이다. $\mathrm{Ab}$에서 단사 함수인 모든 군 준동형은 정규 단사 사상이다. 이는 아벨 군의 모든 부분군이 정규 부분군이기 때문이다.

유사환

유사환과 유사환 준동형의 범주 $\mathrm{Rng}$에서, 영 사상은 0 (덧셈 항등원)으로 가는 상수 함수이다. $\mathrm{Rng}$에서 모든 사상은 핵을 갖는다. 구체적으로, $f:R\to S$의 핵 $\ker f:𝔨\to R$는 다음과 같은 포함 함수이다.

$𝔨=\{g\in G:f(g)=0_H\}$

이 경우, $𝔨$는 $R$의 아이디얼을 이룬다.

유사환의 범주에서, 임의의 유사환 준동형 $f:R\to S$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 정규 단사 사상이다.
• $f$는 단사 함수이며, 그 상 $f(R)\subseteq S$는 $S$의 아이디얼이다.

(곱셈 단위원을 갖는) 환과 환 준동형의 범주 $\mathrm{Ring}$에서 핵은 존재하지 않는다. 이는 아이디얼은 1을 포함하지 않을 수 있어 부분환을 이루지 못할 수 있기 때문이다.

점을 가진 공간

점을 가진 공간의 범주 ${\mathrm{Top}}_{\bullet }$에서, 영 사상은 $\bullet$으로 가는 상수 함수이다. 이 범주에서 모든 사상 $f:(X,{\bullet }_X)\to (Y,{\bullet }_Y)$은 핵 $\ker f:(K,{\bullet }_X)\hookrightarrow (X,{\bullet }_X)$을 가지며, 이는 $\bullet$의 원상에 대한 포함 함수이다.

$K=\{x\in X:f(x)={\bullet }_Y\}$

외부 링크

• 틀:매스월드
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• 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용

같이 보기

• 여핵
• 영 대상
• 아벨 범주