최소 다항식

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 최소 다항식(最小多項式, 틀:Llang)은 체에 대한 결합 대수의 원소가 만족시키는 가장 간단한 일계수 다항식이다.

정의

체 $K$에 대한 멱결합 대수 $A$의 원소 $a\in A$에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

${𝔍}_a=\{p\in K[x]:p(a)=0\}$

(만약 $A$가 1을 갖지 않는다면, ${𝔍}_a\subseteq (x)K[x]$이다.) 그렇다면 ${𝔍}_a$는 $K[x]$의 아이디얼이다. $K[x]$는 주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다.

• ${𝔍}_a=(0)$이다. 이 경우, $a$는 초월원이며, $A$는 초월 대수이다.
• ${𝔍}_a=(p_a(x))$가 되는 일계수 다항식 $p_a(x)\in K[x]$가 존재한다. 이 경우, $p_a(x)$를 $a$의 최소 다항식이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며, ${𝔍}_a$에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은 $p_a$보다 차수가 더 크다.)

성질

멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건은 대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.

체의 확대

체의 확대 $L/K$에 대하여, $L$은 가환 $K$-단위 결합 대수를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서, $L/K$에서 $a\in L$의 최소 다항식 $p_a\in K[x]$가 인수 분해가 가능하다면 ($p_a=qr$), $K$는 정역이므로 $q(a)=0$이거나 $r(a)=0$이며, $\mathrm{deg}q,\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}p$이다. 그러나 $p_a$는 ${𝔍}_a$의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.

대수적 확대 $L/K$에서, $K$가 완전체라면 임의의 $a\in L$에 대하여 $p_a(x)\in K[x]\subset \overline{K}[x]$의 (대수적 폐포 $\overline{K}$에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나 $K$가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우 $L/K$가 분해 가능 확대가 아니라고 한다.

행렬

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬의 유한 차원 $K$-단위 결합 대수 $\mathrm{Mat}(n;K)$에서, 임의의 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬 $G\in \mathrm{GL}(n;K)$에 대하여, $M$과 $G^{-1}MG$의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약 $L$이 $K$를 포함하는 더 큰 체일 경우, $M$의 $\mathrm{Mat}(n;K)$에서의 최소 다항식과 $\mathrm{Mat}(n;L)$에서의 최소 다항식은 일치한다.

체 $K$ 위의 $n\times n$ 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $M$의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.
• $M$은 삼각화 가능 행렬이다.

또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $M$의 최소 다항식은 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다.
• $M$은 대각화 가능 행렬이다.

케일리-해밀턴 정리에 따라, $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$의 최소 다항식은 특성 다항식을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로, $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$의 최소 다항식의 소인수 분해가

$p_M(x)=\prod _p{p}^{n_p}(x)$

라면,

$\mathrm{deg}p\mid \dim \ker p^{n_p}(M)$

$n_p\le \dim \ker p^{n_p}(M)/\mathrm{deg}p$

$\det (x-M)=\prod _p{p}^{\dim \ker p^{n_p}(M)/\mathrm{deg}p}$

이다.틀:Rp

예

체의 확대 $L/K$에서, $a\in K$라면, $p_a(x)=x-a\in K[x]$이다.

실수체의 확대인 복소수체 $ℂ/ℝ$에서, $z\in ℂ$의 최소 다항식은 다음과 같다.

$p_z(x)=\{\begin{array}{cc}x-z& z\in ℝ\\ (x-z)(x-\overline{z})=x^2-2(z+\overline{z})x+z\overline{z}& z\in ℂ\setminus ℝ\end{array}$

실수 행렬

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 2& 0\\ -2& -2& -1\end{array}\right)\in \mathrm{Mat}(3;ℝ)$

의 특성 다항식은

$\det (x-M)=(x+1)(x-1)(x-2)$

이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로, $M$의 최소 다항식 역시

$p_M(x)=(x+1)(x-1)(x-2)$

이다.

대수적 수체

이차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}$에서, $d$가 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면 $\sqrt{d}$의 최소 다항식은 $x^2-d\in \mathbb{Q}[x]$이다.

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$의 $\mathbb{Q}$ 위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.

$p_{\sqrt{2}+\sqrt{3}}(x)=x^4-10x^2+1=(x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3})$

원분체 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$에서, ${\zeta }_n$의 최소 다항식은 원분 다항식 ${\mathrm{\Phi }}_n$이라고 하며, 다음과 같다.

${\mathrm{\Phi }}_1(x)=x-1$

${\mathrm{\Phi }}_2(x)=x+1$

${\mathrm{\Phi }}_3(x)=x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_4(x)=x^2+1$

${\mathrm{\Phi }}_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_6(x)=x^2-x+1$

${\mathrm{\Phi }}_7(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_8(x)=x^4+1$

${\mathrm{\Phi }}_9(x)=x^6+x^3+1$

${\mathrm{\Phi }}_{10}(x)=x^4-x^3+x^2-x+1$

$⋮$

특히, $n$이 소수일 경우

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}$

이다.

분해 가능 확대가 아닌 확대에서의 최소 다항식

분해 가능 확대가 아닌 체의 확대 $({𝔽}_p(x)[y]/(y^p-x))/{𝔽}_p(x)$에서, $y\in {𝔽}_p(x)[y]/(y^p-x)$의 최소 다항식은

$p_y(X)=X^p-x\in {𝔽}_p(x)[X]$

이다. 이 경우, $\overline{{𝔽}_p(x)}$ 위에서

$p_y(X)=(X^p-(\sqrt[p]{x}{)}^p)=(X-\sqrt[p]{x}{)}^p$

이다. 즉, $p_y$는 분해 가능 다항식이 아니다.

같이 보기

• 분해체
• 체 노름
• 분해 가능 확대
• 갈루아 확대

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용