자기 사상
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틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 자기 사상(自己寫像, 틀:Llang)은 그 정의역과 공역이 같은 사상이다.
정의
범주 에서, 와 같이, 시작과 끝이 같은 사상을 자기 사상이라고 한다.
- 집합의 범주에서, 자기 사상은 정의역과 공역이 같은 함수이며, 이를 자기 함수(自己函數, 틀:Llang)라고 한다.
- 대수 구조의 범주에서, 자기 사상은 자기 준동형 사상(自己準同型寫像)이라고 한다.
- (작은) 범주의 범주에서, 자기 사상은 정의역과 공역이 같은 함자이며, 이를 자기 함자(自己函子, 틀:Llang)라고 한다.
범주 의 대상 가 주어졌을 때, 의 자기 사상들은 모노이드를 이루며, 이를 자기 사상 모노이드(自己寫像monoid, 틀:Llang)라고 한다.
- 아벨 군의 범주 의 모노이드 대상이 환이므로, 아벨 범주(또는 일반적으로 아벨 군에 대하여 풍성한 범주)의 대상 의 자기 사상들은 환을 이룬다. 이를 자기 사상환(自己寫像環, 틀:Llang)이라고 하고, 라고 쓴다.
- (작은) 범주의 범주 는 2-범주이므로, 주어진 범주 위의 자기 함자들의 모임 는 범주를 이룬다. 즉, 이 범주의 사상은 자기 함자 사이의 자연 변환이다. 이를 자기 함자 범주(自己函子範疇, 틀:Llang)라고 한다. 자기 함자 범주에서의 모노이드 대상은 모나드라고 한다.
구체적 범주의 자기 사상 에 대하여, 고정점은 인 원소 이다.
예
체 에 대한 벡터 공간의 범주 에서, 벡터 공간 의 자기 사상은 선형 변환 이다. 유한 차원의 경우, 이는 정사각 행렬로 나타낼 수 있으며, 이 경우 자기 사상환은 정사각 행렬들의 환 이다. 자기 동형 사상은 이 가운데 핵과 여핵이 모두 0차원인 경우(전단사인 경우)다.
준군의 경우, 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이다. 모노이드 을 하나의 대상 만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 사상 모노이드 는 자체와 동형이다.
위상 공간의 자기 사상의 경우, 렙셰츠 고정점 정리나 브라우어르 고정점 정리와 같은 정리들이 성립한다.