대칭군 (군론)

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 대칭군(對稱群, 틀:Llang)은 주어진 원소들을 재배열하는 방법(순열)들로 구성된 군이다. 순열군(順列群, 틀:Llang) 또는 치환군(置換群)은 대칭군의 부분군을 뜻한다.

정의

집합 $X$의 대칭군은 $X$에서 $X$로 가는 모든 전단사 함수의 집합에 군 구조를 준 것으로, 기호로는 $S_X$ 또는 $\mathrm{Sym}(X)$로 표기한다. 이 때, 군 연산은 함수의 합성이다. 즉, 두 함수 $f$와 $g$를 합성하여 새로운 전단사 함수 $f\circ g$를 얻을 수 있다. 이 때, $f\circ g$는 $X$의 모든 원소 x에 대해 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$로 정의한다. 이 연산과 함께 $\mathrm{Sym}(X)$는 군을 이룬다. 이 연산은 간단히 $fg$로 쓸 수도 있다.

특별히 중요하게 다루어지는 것은 유한 집합 $X=\{1,\cdots ,n\}$의 경우이다. 이 집합의 대칭군 $\mathrm{Sym}(\{1,\cdots ,n\})$를 간단히 $\mathrm{Sym}(n)$으로 표기한다. $\mathrm{Sym}(n)$의 원소들을 $X$의 순열이라 한다.

n개 원소에 대한 대칭군의 표시는 다음과 같다.

$\mathrm{Sym}(n)\cong ⟨{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}|{\sigma }_i^2=({\sigma }_i{\sigma }_j{)}^2=({\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{)}^3=1(j\ne i\pm 1)⟩$

여기서 ${\sigma }_i$는 순열 $(i,i+1)$에 대응한다.

성질

n개 원소에 대한 대칭군 $\mathrm{Sym}(n)$은 크기가 $n!$인 유한군이다. 무한 대칭군의 경우, 크기가 $\kappa$인 집합 위의 대칭군의 크기는

$|\mathrm{Sym}(\kappa )|={\kappa }^{\kappa }$

이다.

대칭군은 오직 $n\le 2$인 경우에만 아벨 군이며, 오직 $n\le 4$일 경우에만 가해군이다. 이것이 아벨-루피니 정리(5차 이상의 다항식은 거듭제곱근으로 풀 수 없음)의 기본적인 이유이다.

대칭군의 두 순열 ${\sigma }_1,{\sigma }_2\in \mathrm{Sym}(n)$이 같은 켤레류에 속할 필요충분조건은 두 순열의 순환(틀:Llang) 구조가 같다는 것이다. 즉, 두 순열이 같은 수의 순환들로 구성되고, 각 순환들의 길이가 같을 때 서로 같은 켤레류에 속한다.

호몰로지

대칭군의 낮은 차수의 군 호몰로지는 다음과 같다. 군의 정수 계수 1차 호몰로지는 그 아벨화와 같으며, 대칭군의 아벨화는 다음과 같다.

${\mathrm{H}}_1(\mathrm{Sym}(n),\mathbb{Z})=\{\begin{array}{cc}0& n<2\\ \mathrm{Cyc}(2)& n\ge 2\end{array}$

군의 정수 계수 2차 호몰로지는 그 슈어 승수(틀:Llang)의 군과 같으며, 대칭군의 경우 이는 다음과 같다.

${\mathrm{H}}_2(\mathrm{Sym}(n),\mathbb{Z})=\{\begin{array}{cc}0& n<4\\ \mathrm{Cyc}(2)& n\ge 4\end{array}$

자기 동형

대칭군의 자기 동형군과 중심은 다음과 같다.

n	$\mathrm{Aut}(\mathrm{Sym}(n))$	$\mathrm{Out}(\mathrm{Sym}(n))$	$\mathrm{Z}(\mathrm{Sym}(n))$
$n\ne 2,6$	$\mathrm{Sym}(n)$	1	1
$n=2$	1	1	$\mathrm{Sym}(2)$
$n=6$	$\mathrm{Sym}(6)⋊\mathrm{Cyc}(2)$	$\mathrm{Cyc}(2)$	1

응용

대칭군은 수학의 다양한 분야에 등장한다. 갈루아 이론에서, n차 대칭군은 일반적 n차 다항식의 갈루아 군이다. 리 군의 이론에서, n차 대칭군은 일반선형군 $\mathrm{GL}(n,ℂ)$ 및 특수선형군 $\mathrm{SL}(n+1,ℂ)=A_n$의 바일 군이며, 슈어 함자(틀:Llang)에 따라 특수선형군의 기약표현들은 대칭군의 기약표현과 대응한다. 또한, 대칭군은 콕서터 군 $A_n$과 같다.

낮은 차수의 대칭군

낮은 차수의 대칭군은 다음과 같다.

대칭군	다른 이름
Sym(0)	1 (자명군)
Sym(1)	1 (자명군)
Sym(2)	$\mathbb{Z}/2$ (2차 순환군)
Sym(3)	Dih(6) (정이면체군), $\mathrm{PGL}(2;{𝔽}_2)$ (2차 유한체에 대한 2×2 사영일반선형군)
Sym(4)	$\mathrm{PGL}(2;{𝔽}_3)$ (3차 유한체에 대한 2×2 사영일반선형군)

같이 보기

• 스테인하우스-존슨-트로터 알고리즘

외부 링크

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