켤레 복소수

복소평면에서의 복소수 z와 그 켤레복소수 틀:Overset

수학에서 켤레 복소수(-複素數, 틀:Llang) 또는 공액 복소수(共軶複素數) 또는 복소 켤레 또는 공액 켤레는 복소수의 허수부에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다. 다시 말해, 편각에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다. 복소평면 위에서, 서로 켤레인 두 복소수는 x축에 의하여 대칭이다. 복소수 $z$의 켤레 복소수의 기호는 $\overline{z}$ 또는 $z^{*}$이다.

정의

복소수의 켤레 복소수는 다음과 같이 정의된다.

$\overline{x+iy}=x-iyx,y\in ℝ$

극 형식으로 쓰면 다음과 같다.

$\overline{r{e}^{i\theta }}=r{e}^{-i\theta }r,\theta \in ℝ,r\ge 0$

켤레 복소수의 기호 $\overline{z}$는 켤레 전치의 기호 $A^{*}$와의 혼동을 피하려고 할 때 선호된다. 켤레 복소수의 또 하나의 기호 $z^{*}$는 물리학에서 자주 쓰이며, 이 경우 켤레 전치의 기호에는 흔히 $A^{†}$를 사용한다.

성질

항등식

켤레 복소수에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 임의의 복소수 $z,w$에 대하여,

• $\mathrm{Re}z=(z+\overline{z})/2$
• $\mathrm{Im}z=(z-\overline{z})/(2i)$
• $|z|=\sqrt{z\overline{z}}$
• $\arg z=(1/(2i))\ln \frac{z}{\overline{z}}z\ne 0$
• (덧셈 군 자기 준동형) $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
• (덧셈 군 자기 준동형) $\overline{z-w}=\overline{z}-\overline{w}$
• (체 자기 동형) $\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$
• (체 자기 동형) $\overline{(z/w)}=\overline{z}/\overline{w}$
• ($ℂ/ℝ$ 자기 동형) $\overline{z}=z⟺z\in ℝ$
• (대합) $\overline{\overline{z}}=z$
• (노름 자기 동형) $|\overline{z}|=|z|$
• $\arg \overline{z}=-\arg z$
• $\mathrm{Re}\overline{z}=\mathrm{Re}z$
• $\mathrm{Im}\overline{z}=-\mathrm{Im}z$

켤레근 정리

정칙 함수 $f$가 만약 $f(ℝ)\subseteq ℝ$를 만족시킨다면, 임의의 복소수 $z$에 대하여, $\overline{f(z)}=f(\overline{z})$가 성립한다. 특히, $f(x)\in ℝ[x]$인 경우, 만약 $f(z)=0$이라면 $f(\overline{z})=0$이다. 즉, 실수 계수 다항식의 허수 영점은 항상 켤레 복소수끼리 짝을 지어 나타난다. 이를 켤레근 정리(-根定理, 틀:Llang)라고 한다.

체론적 성질

켤레 복소수 함수는 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(ℂ/ℝ)$의 유일한 비자명 원소이다.

관련 개념

행렬의 경우

행렬 $A$의 경우, 그 원소별 켤레 복소수를

$\overline{A}$

로 쓰며, 다음과 같이 정의할 수 있다.

$(\overline{A}{)}_{ij}=\overline{A_{ij}}$

또한, 켤레 전치는 다음과 같이 정의된다.

$A^{*}=(\overline{A}{)}^{\mathrm{T}}=\overline{A^{\mathrm{T}}}$

즉, 다음과 같다.

$(A^{*}{)}_{ij}=\overline{A_{ji}}$

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스