프로베니우스 사상

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학과 체론에서 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, 틀:Llang)은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다.

정의

가환환 $R$의 환의 표수가 $p>0$이며, $p$가 소수라고 하자. 그렇다면 $R$의 프로베니우스 사상 ${\mathrm{Frob}}_R:R\to R$은 다음과 같다.

${\mathrm{Frob}}_R:r\mapsto r^p$

이는 환 준동형을 이룬다. 이는

$(r+s{)}^p=\sum _{i=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})r^i{s}^{p-i}=r^p+s^p\mathrm{\forall }r,s\in R(\because p\mid (\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})\mathrm{\forall }1\le i\le p-1)$

이기 때문이다. 위 항등식은 신입생의 꿈(新入生-, 틀:Llang) 또는 1학년의 꿈이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 복소수체 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어, $(1+1{)}^p=2^p\ne 2=1^p+1^p$이다).

스킴의 프로베니우스 사상

소수 $p$가 주어졌을 때, 유한체 ${𝔽}_p$ 위의 스킴 $X/\mathrm{Spec}{𝔽}_p$가 주어졌다고 하자. $X$의 임의 아핀 부분 스킴 $U$에 대하여, $\mathrm{\Gamma }(U,{𝒪}_X)$는 $K$-단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 ${𝔽}_p$-스킴 사상 ${\mathrm{Frob}}_X:X\to X$을 $X$의 절대 프로베니우스 사상이라고 한다.틀:Rp 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.

${\mathrm{Frob}}_{/{𝔽}_p}:{\mathrm{Id}}_{\mathrm{Sch}/\mathrm{Spec}{𝔽}_p}\Rightarrow {\mathrm{Id}}_{\mathrm{Sch}/\mathrm{Spec}{𝔽}_p}$

여기서 ${\mathrm{Id}}_{\mathrm{Sch}/\mathrm{Spec}{𝔽}_p}$는 ${𝔽}_p$-스킴의 범주 $\mathrm{Sch}/\mathrm{Spec}{𝔽}_p$의 항등 함자이다.

산술·기하 프로베니우스 사상

${𝔽}_p$-스킴 $S$ 위의 스킴 $f:X\to S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $S$의 절대 프로베니우스 사상 ${\mathrm{Frob}}_S:S\to S$와의 올곱을 취하면

$X^{(p/S)}=X{\times }_S{\mathrm{Frob}}_S$

를 정의할 수 있다. 이는 함자

$\mathrm{Sch}/S\to \mathrm{Sch}/S$

를 이루며, 프로베니우스 스칼라 확대(틀:Llang)라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

${\mathrm{Frob}}_{\mathrm{a},X/S}:X^{(p/S)}\to X$

을 산술 프로베니우스 사상(틀:Llang)이라고 한다.

$\begin{array}{ccc}{X}^{(p/S)}& \stackrel{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}{\mathrm{b}}_{\mathrm{a}}}{\to }& X\\ \downarrow & & \downarrow \\ S& \to \mathrm{Frob}& S\end{array}$

만약 $S$의 절대 프로베니우스 사상 ${\mathrm{Frob}}_S:S\to S$이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, $S$가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상 ${\mathrm{Frob}}_S^{-1}$에 대한 올곱

$X^{(p^{-1}/S)}=X{\times }_S{\mathrm{Frob}}_S$

을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

${\mathrm{Frob}}_{\mathrm{g},X/S}:X^{(p^{-1}/S)}\to X$

을 기하 프로베니우스 사상(틀:Llang)이라고 한다.

$\begin{array}{ccc}{X}^{(p^{-1}/S)}& \stackrel{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}}}{\to }& X\\ \downarrow & & \downarrow \\ S& \to {\mathrm{Frob}}^{-1}& S\end{array}$

상대 프로베니우스 사상

${𝔽}_p$-스킴 $S$ 위의 스킴 $f:X\to S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 ${\mathrm{Frob}}_{/S}:X\to X^{(p/S)}$이 존재한다.

$\begin{array}{ccc}& & X\\ & f\swarrow & \downarrow \mathrm{\exists }!& \searrow \mathrm{Frob}\\ S& \leftarrow & X^{(p/S)}& \to \mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}{\mathrm{b}}_{\mathrm{a}}& X\\ & \mathrm{Frob}\searrow & & \swarrow f\\ & & S\end{array}$

이를 상대 프로베니우스 사상(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 이는 자연 변환

${\mathrm{Frob}}_{/S}:{\mathrm{Id}}_{\mathrm{Sch}/S}\to {\mathrm{Id}}_{\mathrm{Sch}/S}$

을 이룬다.

물론, $S=\mathrm{Spec}{𝔽}_p$라면 (또는 보다 일반적으로 ${\mathrm{Frob}}_S={\mathrm{id}}_S$라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

성질

소수 표수의 가환환 $R$ 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 $R$가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.

양의 표수의 체 $K$에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은 $K$가 완전체인 것이다.

고정점

유한체 ${𝔽}_p$ 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리).

$a^p=a\mathrm{\forall }a\in {𝔽}_p$

양의 표수 $p>0$의 체 $K/{𝔽}_p$ 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 $x^p-x\in K[x]$의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 $p$차 다항식의 근의 수는 $p$개 이하이며, ${𝔽}_p\subseteq K$는 이미 $p$개의 근을 이루므로, $K$ 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 ${𝔽}_p$이다. 보다 일반적으로, 양의 표수 $p>0$의 정역 $D$에 대해서, 항상 분수체 $\mathrm{Frac}D\supseteq D\supseteq {𝔽}_p$를 취할 수 있으므로, 표수 $p$의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 ${𝔽}_p$이다.

$\{a\in D:a^p=a\}={𝔽}_p$

갈루아 군

유한체 ${𝔽}_p$의 유한 확대 ${𝔽}_{p^n}/{𝔽}_p$의 갈루아 군은 순환군이다.

$\mathrm{Gal}({𝔽}_{p^n}/{𝔽}_p)\cong \mathbb{Z}/n$

프로베니우스 자기 동형

${\mathrm{Frob}}_{{𝔽}_{p^n}}\in \mathrm{Gal}({𝔽}_{p^n}/{𝔽}_p)$

은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.

마찬가지로, 유한체 ${𝔽}_{p^m}$의 유한 확대 ${𝔽}_{p^{mn}}/{𝔽}_{p^m}$의 갈루아 군은 순환군

$\mathrm{Gal}({𝔽}_{p^{mn}}/{𝔽}_{p^m})\cong \mathbb{Z}/n$

이며, 프로베니우스 자기 동형의 $m$제곱

$\stackrel{m}{\overbrace{{\mathrm{Frob}}_{{𝔽}_{p^m}}\circ \cdots \circ {\mathrm{Frob}}_{{𝔽}_{p^m}}}}\in \mathrm{Gal}({𝔽}_{p^{mn}}/{𝔽}_m)$

은 그 생성원을 이룬다.

틀:증명 ${𝔽}_{p^{mn}}$의 곱셈군 $F_{p^{mn}}^{\times }$은 $p^{mn}-1$차 순환군이므로, 임의의 $a\in {𝔽}_{p^{mn}}^{\times }$에 대하여 $a^{p^{mn}-1}=1$이며, 따라서 임의의 $a\in {𝔽}_{p^{mn}}$에 대하여 $a^{p^{mn}}=a$이다. 임의의 $0<i<n$에 대하여, $x^{p^{m}i}=x$의 근의 수는 $p^{mi}$ 이하이므로, $a^{p^{mi}}\ne a$인 $a\in {𝔽}_{p^{mn}}$이 존재한다. 즉,

$\varphi =\stackrel{m}{\overbrace{{\mathrm{Frob}}_{{𝔽}_{p^m}}\circ \cdots \circ {\mathrm{Frob}}_{{𝔽}_{p^m}}}}$

를 생성원으로 하는 순환군은 $n$차 순환군이다. $\varphi$가 갈루아 군의 원소이므로, 이 순환군의 $n$개의 원소 역시 갈루아 군의 원소들이다. 그런데 갈루아 군의 원소의 수는 확대의 차수

$[{𝔽}_{p^{mn}}:{𝔽}_{p^m}]=n$

이하여야 한다. 따라서 이 순환군은 갈루아 군 전체와 같다. 틀:증명 끝

스킴 위의 갈루아 군의 작용

유한체 ${𝔽}_{p^n}$ 위의 스킴 $X/{𝔽}_{p^n}$가 주어졌다고 하자. 유한체 ${𝔽}_{p^n}$은 완전체이므로 ${𝔽}_{p^n}$의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, $X^{(p/{𝔽}_{p^n})}$ 및 $X^{(p^{-1}/{𝔽}_{p^n})}$은 $X$와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 $X$ 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.

이제, $X$의 ${𝔽}_{p^n}$-점들의 집합 $X({𝔽}_{p^n})$ 위에는 갈루아 군 $\mathrm{Gal}({𝔽}_{p^n}/{𝔽}_p)\cong \mathbb{Z}/n$(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

$(\mathrm{Spec}{𝔽}_{p^n}\stackrel{x}{\to }X)\mapsto (\mathrm{Spec}{𝔽}_{p^n}\stackrel{\mathrm{Frob}}{\to }\mathrm{Spec}{𝔽}_{p^n}\stackrel{x}{\to }X)$

또한, $X({𝔽}_{p^n})$ 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.

$(\mathrm{Spec}{𝔽}_{p^n}\stackrel{x}{\to }X)\mapsto (\mathrm{Spec}{𝔽}_{p^n}\stackrel{x}{\to }X\stackrel{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}{\mathrm{b}}_{\mathrm{a}}}{\to }X)$

이 두 작용은 서로 일치한다.

따라서, 산술 프로베니우스 사상 ${\mathrm{Frob}}_{\mathrm{a},X/{𝔽}_{p^n}}:(X^{(p/{𝔽}_{p^n})}\cong X)\to X$은 ${𝔽}_{p^n}$-점의 집합 위의 갈루아 군 $\mathrm{Gal}({𝔽}_{p^n}{𝔽}_p)\cong \mathbb{Z}/n$의 작용을 나타낸다.

에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상

유한체 ${𝔽}_p$ 위의 스킴 $X/{𝔽}_p$가 주어졌다고 하자. $\overline{X}=X{\otimes }_{{𝔽}_p}\mathrm{Spec}{\overline{𝔽}}_p$ 위의 작은 에탈 위치 ${\overline{X}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$를 생각하자. 그렇다면, $X$ 위의 상대 프로베니우스 사상

${\mathrm{Frob}}_{X/{\overline{𝔽}}_p}:\overline{X}\to \overline{X}$

과 기하 프로베니우스 사상

${\mathrm{Frob}}_{\mathrm{g},X/{\overline{𝔽}}_p}X:\overline{X}\to \overline{X}$

은 토포스 ${\overline{X}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 위의 같은 기하학적 사상

$f:{\mathrm{Frob}}_{X/{\overline{𝔽}}_p}={\mathrm{Frob}}_{\mathrm{g},X/{\overline{𝔽}}_p}:{\overline{X}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\to {\overline{X}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$을 유도한다.

특히, ${\overline{X}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 위의 아벨 군 값의 층 $ℱ$이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 $ℱ$의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다.

${\mathrm{Frob}}_{X/{\overline{𝔽}}_p}^{*}={\mathrm{Frob}}_{\mathrm{g},X/{\overline{𝔽}}_p}^{*}:{\mathrm{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\bullet }(\overline{X};ℱ)\to {\mathrm{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\bullet }(\overline{X};f^{*}ℱ)$

수론적 성질

대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 프로베니우스 원소(틀:Llang)라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.

국소체

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 두 비아르키메데스 국소체 $L$, $K$ 사이의 비분기 유한 갈루아 확대 $L/K$

대수적 정수환 ${𝒪}_L$의 유일한 극대 아이디얼을 $𝔓\in \mathrm{Spec}{𝒪}_L$라고 하고, ${𝒪}_K$의 유일한 극대 아이디얼을 $𝔭\in \mathrm{Spec}{𝒪}_K$라고 하자.

그렇다면, 잉여류체 ${𝒪}_L/𝔓$와 ${𝒪}_K/𝔭$는 둘 다 유한체이며,

$[{𝒪}_L/𝔓:{𝒪}_K/𝔭]=[L:K]$

이다. (여기서 $[:]$는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소

${\mathrm{Frob}}_{L/K}\in \mathrm{Gal}\left(\frac{{𝒪}_L/𝔓}{{𝒪}_K/𝔭}\right)$

가 존재하며, 이를 $L/K$의 프로베니우스 원소라고 한다.

${\mathrm{Frob}}_{L/K}(x)\equiv x^{|{𝒪}_K/𝔭|}(\mathrm{mod}𝔓)\mathrm{\forall }x\in {𝒪}_L$

대역체

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• $K/\mathbb{Q}$가 갈루아 확대인 대수적 수체 $K$
• 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}({𝒪}_K)$ (${𝒪}_K$는 대수적 정수환). 소수 $p$에 대하여 $𝔭\mid p$이며, $𝔭\mid p$가 비분기라고 하자.

$𝔭$가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$은 $𝔭$를 고정시킨다. 즉, $𝔭$에서의 분해군(틀:Llang)

$G_{𝔭}=\{g\in \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q}):g\cdot 𝔭=𝔭\}$

은 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 전체이다.

이 경우,

$g(x)\equiv x^p(\mathrm{mod}𝔭)\mathrm{\forall }x\in {𝒪}_{K_{𝔭}}$

를 만족시키는 유일한 원소

$g\in \mathrm{Gal}(K_{𝔭}/{𝔽}_p)$

가 존재한다. (여기서 $K_{𝔭}$는 $𝔭$진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 ${𝔽}_p$인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를 $𝔭$의 프로베니우스 원소 ${\mathrm{Frob}}_{𝔭}\in \mathrm{Gal}(K_{𝔭}/{𝔽}_p)$라고 한다.

예

유한체 계수의 유리 함수체 ${𝔽}_p(t)$의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, $t$는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 ${𝔽}_p(t)$는 완전체가 아니다.

역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.

같이 보기

• 완전체

외부 링크

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