자기 동형탑

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서, 어떤 군의 자기 동형탑(自己同型塔, 틀:Llang)은 자기 동형군을 반복적으로 취하여 만들어지는 군의 열이다.

정의

군 $G$의 자기 동형탑 $({\mathrm{Aut}}^{\alpha }(G),{\varphi }_{\alpha \beta })$은 다음과 같은 데이터들의 튜플이다.

• 순서수 $\alpha$에 대하여, 군 ${\mathrm{Aut}}^{\alpha }(G)$
• $\alpha \le \beta$인 순서수 $\alpha ,\beta$에 대하여, 군 준동형 ${\varphi }_{\alpha \beta }:{\mathrm{Aut}}^{\alpha }(G)\to {\mathrm{Aut}}^{\beta }(G)$. 또한, $\alpha =\beta$인 경우, ${\varphi }_{\alpha \alpha }$는 항등 함수이다.

이는 초한 재귀를 통해 다음과 같이 정의된다.

• ${\mathrm{Aut}}^0(G)=G$
• 따름 순서수 $\alpha +1$에 대하여,
  • ${\mathrm{Aut}}^{\alpha +1}(G)=\mathrm{Aut}({\mathrm{Aut}}^{\alpha }(G))$는 ${\mathrm{Aut}}^{\alpha }(G)$의 자기 동형군이다.
  • ${\varphi }_{\alpha ,\alpha +1}:{\mathrm{Aut}}^{\alpha }(G)\to {\mathrm{Aut}}^{\alpha +1}(G)$는 임의의 $g\in {\mathrm{Aut}}^{\alpha }(G)$를 그에 대응하는 내부 자기 동형 ${\varphi }_{\alpha ,\alpha +1}(g):h\mapsto gh{g}^{-1}$으로 보내는 자연스러운 군 준동형이다.
• 극한 순서수 $\alpha$에 대하여, $({\mathrm{Aut}}^{\alpha }(G),({\varphi }_{\beta \alpha }{)}_{\beta <\alpha })$는 유향 체계 $(({\mathrm{Aut}}^{\beta }(G){)}_{\beta <\alpha },({\varphi }_{\beta \gamma }{)}_{\beta \le \gamma <\alpha })$의 귀납적 극한이다.

군 $G$의 자기 동형탑 높이(틀:Llang) ${\tau }_{\mathrm{Aut}}(G)$는 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수이다.

• ${\varphi }_{{\tau }_{\mathrm{Aut}}(G),{\tau }_{\mathrm{Aut}}(G)+1}$는 군의 동형이다. 즉, ${\mathrm{Aut}}^{{\tau }_{\mathrm{Aut}}(G)}(G)$는 완비군이다.

이 경우, 임의의 순서수 $\beta \ge \alpha \ge {\tau }_{\mathrm{Aut}}(G)$에 대하여 ${\varphi }_{\alpha \beta }$는 군의 동형이다. 즉, ${\tau }_{\mathrm{Aut}}(G)$는 자기 동형탑을 만드는 과정이 멈추는 시점이다.

성질

무중심군

틀:참고 임의의 군 $G$에 대하여, 그 내부 자기 동형군은 자기 동형군의 정규 부분군을 이룬다. 만약 $G$의 중심이 자명군이라면, 그 내부 자기 동형군의 자기 동형군에서의 중심화 부분군은 자명군이다.

${\mathrm{C}}_{\mathrm{Aut}(G)}(\mathrm{Inn}(G))=1$

특히, 만약 $G$의 중심이 자명군이라면, $\mathrm{Aut}(G)$의 중심 역시 자명군이다. 자명한 중심을 갖는 조건은 자연스러운 군 준동형 ${\varphi }_{0,1}:G\to \mathrm{Aut}(G)$이 단사 함수인 조건과 동치이다. 따라서, 자명한 중심을 갖는 군 $G$의 자기 동형탑

$G⊲\mathrm{Aut}(G)⊲\mathrm{Aut}(\mathrm{Aut}(G))⊲\cdots ⊲{\mathrm{Aut}}^{\omega }(G)⊲{\mathrm{Aut}}^{\omega +1}(G)⊲\cdots$

은 점점 커지는 일련의 (정규) 부분군들의 열이다.

자기 동형탑이 유한·가산 시간 내에 멈출 일부 충분조건은 다음과 같다.

• 만약 $G$가 자명한 중심을 갖는 유한군이라면, ${\tau }_{\mathrm{Aut}}(G)<\omega$이다.
• 만약 $G$가 자명한 중심을 갖는 체르니코프 군(Černikov群, 틀:Llang)이라면, ${\tau }_{\mathrm{Aut}}(G)<\omega$이다.
• 만약 $G$가 자명한 중심을 갖는 다순환군(多循環群, 틀:Llang)이라면, ${\tau }_{\mathrm{Aut}}(G)<{\omega }_1$이다.
• 만약 $G$가 자명한 중심을 갖는 유한 생성 군이라면, $\tau (G)<{\omega }_1$이다.틀:Rp

임의의 무한 기수 $\kappa$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기 $\kappa$의 군 $G$의 자기 동형탑 높이는 $(2^{\kappa }{)}^{+}$ 미만이며 (여기서, $(2^{\kappa }{)}^{+}$는 $2^{\kappa }$의 따름 기수이다), 이는 선택 공리를 필요로 하지 않는다. 또한, 임의의 순서수 $\alpha <{\kappa }^{+}$에 대하여, 자기 동형탑 높이가 $\alpha$인, 크기 $\kappa$의 자명한 중심을 갖는 군 $G$가 존재한다. 즉, $\kappa$에 대하여, ${\tau }_{\mathrm{Aut}}(\kappa )$가 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수라고 하자.

• 임의의 크기 $\kappa$의 자명한 중심을 갖는 군 $G$에 대하여, ${\tau }_{\mathrm{Aut}}(G)<{\tau }_{\mathrm{Aut}}(\kappa )$

그렇다면, 위 결론들에 따라 ${\kappa }^{+}\le {\tau }_{\mathrm{Aut}}(\kappa )\le (2^{\kappa }{)}^{+}$이다. 하지만 크기 $\kappa$의 자명한 중심을 갖는 군은 $2^{\kappa }$개이므로, 다음과 같은 더 강한 결론이 성립한다.

${\kappa }^{+}\le {\tau }_{\mathrm{Aut}}(\kappa )<(2^{\kappa }{)}^{+}$

즉, $(2^{\kappa }{)}^{+}$는 크기 $\kappa$의 무중심군의 자기 동형군 높이 ${\tau }_{\mathrm{Aut}}(G)$에 대한 ‘최적의 근사’가 아니다. 반면, 만약 $\kappa$가 비가산 기수라면, $(2^{\kappa }{)}^{+}$는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 명제 ${\tau }_{\mathrm{Aut}}(\kappa )<(2^{\kappa }{)}^{+}$를 증명 가능한 최소의 순서수이며, 이는 강제법을 사용하여 보일 수 있다.틀:Rp (이러한 일이 가능한 것은 ${\tau }_{\mathrm{Aut}}(\kappa )$의 값이 모형마다 다를 수 있기 때문이다.)

일반적인 군

임의의 군 $G$에 대하여, ${\mathrm{Aut}}^{\alpha }(G)$의 중심이 자명군인 순서수 $\alpha$가 존재한다. 특히, 모든 군의 자기 동형탑은 결국 멈춘다.