전사 함수

전사 함수의 예

수학에서 전사 함수(全射函數, 틀:Llang) 또는 위로의 함수(틀:Llang)는 공역과 치역이 같은 함수이다.

정의

두 집합 $X$, $Y$ 사이의 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전사 함수라고 한다.

• 임의의 $y\in Y$에 대하여, $f(x)=y$인 $x\in X$가 존재한다.
• 공역과 치역이 같다. 즉, $Y=f(X)$이다.
• $f$는 집합의 범주에서의 전사 사상이다. 즉, 임의의 집합 $Z$ 및 함수 $g_1,g_2:Y\to Z$에 대하여, 만약 $g_1\circ f=g_2\circ f$라면 $g_1=g_2$이다.
• $f$는 집합의 범주에서의 분할 전사 사상이다. 즉, $f\circ g$가 $Y$ 위의 항등 함수를 이루는 함수 $g:Y\to X$가 존재한다. (이는 선택 공리를 가정하지 않으면 성립하지 않는다.)

성질

임의의 함수 $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$가 주어졌다고 하자.

• 만약 $f$와 $g$가 둘 다 전사 함수라면, $g\circ f$ 역시 전사 함수이다.
• 만약 $g\circ f$가 전사 함수라면, $g$ 역시 전사 함수이다. 하지만 $f$가 전사 함수일 필요는 없다.

두 집합 $X$, $Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 전사 함수 $f:X\to Y$가 존재하거나, 아니면 $Y=\varnothing$이다.
• $|X|\ge |Y|$이다. 여기서 $|\cdot |$는 집합의 크기이다.

공역의 크기가 0 또는 1인 함수는 항상 전사 함수이다. (공역이 공집합이라면, 정의역 또한 공집합이어야만 함수가 존재할 수 있다.)

예

정의역과 공역이 둘 다 실수 집합 $ℝ$인 함수

$ℝ\to ℝ$

$x\mapsto x^2$

는 전사 함수가 아닌데, $x^2=-1$인 실수 $x$가 존재하지 않기 때문이다. 그러나 만약 공역이 $ℝ$ 대신, 음이 아닌 실수의 집합 $[0,\mathrm{\infty })$이라면, 함수

$ℝ\to [0,\mathrm{\infty })$

$x\mapsto x^2$

는 전사 함수이다.

역사

유럽 언어에서 쓰이는 용어 "서젝션"(틀:Llang), "쉬르젝시옹"(틀:Llang) 등은 단사를 뜻하는 "인젝션"(틀:Llang), "앵젝시옹"(틀:Llang)에서, 접두사 "인"(틀:Llang, 안으로)을 "쉬르"(틀:Llang, 위로)로 치환한 것이다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

같이 보기

• 단사 함수
• 전단사 함수
• 전사 사상

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Eom