항등 함수

수학에서 항등 함수(恒等函數, 틀:Llang) 또는 항등 사상(恒等寫像, 틀:Llang), 항등 변환(恒等變換, 틀:Llang)은 정의역과 공역이 같고, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 함수이다.

정의

집합 $X$ 의 항등 함수 ${id}_{X}$ 는 다음과 같은 함수이다.

임의의 함수 $f : X \to Y$ 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

f \circ {id}_{X} = {id}_{Y} \circ f = f

즉, 항등 함수는 집합의 범주에서의 항등 사상이다. 특히, $X$ 의 자기 함수의 집합 $End (X)$ 는 함수의 합성에 대하여 모노이드를 이룬다. 틀:증명 임의의 $x \in X$ 에 대하여,

(f \circ {id}_{X}) (x) = f ({id}_{X} (x)) = f (x)

이므로,

f \circ {id}_{X} = f

이다. 마찬가지로 임의의 $y \in Y$ 에 대하여,

({id}_{Y} \circ f) (y) = {id}_{Y} (f (y)) = f (y)

이므로,

{id}_{Y} \circ f = f

임의의 함수 $f : X \to Y$ 에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 동치이다.

$f$ 는 전단사 함수이다.
다음을 만족시키는 함수 f−1:Y→X가 존재한다. (이를 f의 역함수라고 한다.)
- $f^{- 1} \circ f = {id}_{X}$
- $f \circ f^{- 1} = {id}_{Y}$

즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 동형 사상이다. 특히, $X$ 의 자기 전단사 함수의 집합 $Sym (X)$ 은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 $X$ 의 대칭군이라고 한다.

양의 정수의 집합 $ℤ^{+}$ 의 항등 함수는 완전 곱셈적 함수에 속한다.

실수의 집합 $ℝ$ 의 항등 함수는 일차 함수에 속한다.