거리 공간

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 거리 공간(距離空間, 틀:Llang)은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 갖는다.

정의

집합 $X$ 위의 거리 함수(距離函數, 틀:Llang)는 다음 조건을 만족시키는 함수

$d:X\times X\to [0,\mathrm{\infty })$

이다.

• (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 $x,y\in X$에 대하여, $d(x,y)=0⟺x=y$
• (대칭성) 임의의 $x,y\in X$에 대하여, $d(x,y)=d(y,x)$
• (삼각 부등식, 틀:Llang) 임의의 $x,y,z\in X$에 대하여, $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$

마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체시킬 수 있다.

• (삼각 부등식) $d(z,y)+d(y,x)\ge d(x,z)$

여기서 $z=y$로 잡으면 $d(y,x)=d(x,y)$가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 거리 함수의 정의에서, 첫째 조건을 $d(x,y)=0⟸x=y$로 약화시키면 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.

거리 공간 $(X,d)$은 거리 함수가 주어진 집합이다.

거리 공간의 특별한 집합

틀:본문 거리 공간 $X$에서, 점 $x\in X$를 중심으로 하는, 반지름이 $r\in {ℝ}^{+}$인 열린 공 $B_r(x)$는 다음과 같다.(저자에 따라서는 $B(x,r)$로 적기도 한다.)

$B_r(x)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$

점 $x\in X$를 중심으로 하는, 반지름이 $r\in {ℝ}^{+}$인 닫힌 공 ${\overline{B}}_r(x)$는 다음과 같다.

${\overline{B}}_r(x)=\{y\in X:d(x,y)\le r\}$

거리 공간 $X$의 유계 집합 $S\subset X$는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.

• $\sup \{d(x,s):s\in S\}<\mathrm{\infty }$인 점 $x\in X$가 존재한다.

거리 위상

거리 공간 $(X,d)$의 거리 위상(距離位相, 틀:Llang)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $U\subset X$이다.

모든 $x\in U$에 대하여, $B(x,r_x)\subset U$인 $r_x>0$가 존재한다.

거리 위상은 거리 함수 $d:X\times X\to [0,\mathrm{\infty })$를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이자, 함수 집합 $(d(x,-):X\to [0,\mathrm{\infty }){)}_{x\in X}$의 시작 위상이다. 모든 거리 공간은 거리 위상을 통해 표준적으로 위상 공간을 이룬다.

완비 거리 공간

틀:본문 모든 코시 수열이 극한을 갖는 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다.

지름

거리 공간 $(X,d)$의 지름(틀:Llang) $\mathrm{diam}X$는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

$\mathrm{diam}X=\underset{x,y\in X}{\sup }d(x,y)\in [0,\mathrm{\infty }]$

마찬가지로, 거리 공간의 부분 공간은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 거리 공간을 유계 공간이라고 한다.

성질

거리 공간 $(X,d)$의 임의의 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, $(Y,d{|}_{Y\times Y})$는 거리 공간을 이룬다.

위상수학적 성질

틀:본문 모든 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 하우스도르프 공간이다.
• 파라콤팩트 공간이다.
• T₆ 공간이다.
• 제1 가산 공간이다.

거리 공간 $(X,d)$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $X$는 분해 가능 공간이다.
• $X$는 제2 가산 공간이다.
• $X$는 린델뢰프 공간이다.

예

• 실수 $ℝ$에서, 거리가 절댓값을 이용하여, $d(x,y)=|x-y|$로 정의되었을 때, $(ℝ,d)$는 완비 거리 공간이다.
• 유리수의 집합 $\mathbb{Q}\subset ℝ$은 실수 거리 공간의 부분 공간으로서 거리 공간을 이룬다. 그러나 이는 완비 거리 공간이 아니다.
• 유클리드 공간에서, ${ℝ}^n$에서, 거리를 $d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$로 정의하면, $({ℝ}^n,d)$는 거리 공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. 이는 완비 거리 공간을 이룬다.
• ${ℝ}^n$에서 $d_0(x-y)=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i-y_i|$을 거리로 정의하면, $({ℝ}^n,d_0)$는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 두 가지 거리 함수는 같은 위상을 정의한다.

노름 공간 $(V,\Vert \cdot \Vert )$에 대하여, 거리 함수를

$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$

로 정의한다면, $(V,d)$는 거리 공간이다. 마찬가지로, 노름 공간 $(V,\Vert \cdot \Vert )$에 대하여 거리 함수를

$d_{\text{post}}(x,y)=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

로 정의한다면, $(V,d_{\text{post}})$는 거리 공간이다. 이 거리 함수를 우체국 거리(틀:Llang)라고 한다.

임의의 연결 리만 다양체 $(M,g)$에 대하여, 거리 함수를

$d(x,y)=\underset{\gamma \in C^1([0,1],M)}{\inf }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{g^{-1}({\gamma }^{\prime }(s),{\gamma }^{\prime }(s))}ds$

로 정의한다면, $(M,d)$는 거리 공간이다.

임의의 집합 $X$ 및 양의 실수 $r$에 대하여,

$d(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& x=y\\ r& x\ne y\end{array}$

는 초거리 함수를 이룬다. 이를 이산 거리 함수라고 한다.

임의의 연결 그래프 $G$에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 경로들의 길이의 최솟값으로 정의한다면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 등거리변환
• 리만 계량, 리만 다양체
• 거리화 가능 공간
• 초거리 공간
• 길이 거리 공간

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드