단사 함수

단사 함수의 예

단사 함수가 아닌 예 (이는 전사 함수이기는 하다).

수학에서 단사 함수(單射函數, 틀:Llang) 또는 일대일 함수(一對一函數, 틀:Llang)는 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수이다. 공역의 각 원소는 정의역의 원소 중 최대 한 원소의 상이다.

정의

두 집합 $X$, $Y$ 사이의 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 단사 함수라고 한다.

• 임의의 $x,x^{\prime }\in X$에 대하여, 만약 $f(x)=f(x^{\prime })$이라면, $x=x^{\prime }$이다.
• 임의의 $x,x^{\prime }\in X$에 대하여, 만약 $x\ne x^{\prime }$이라면, $f(x)\ne f(x^{\prime })$이다.
• $f$를 그 치역 $f(X)$에 국한시킨다면, $f$는 정의역 $X$와 치역 $f(X)$ 사이의 전단사 함수를 정의한다.
• $f$는 집합의 범주에서의 단사 사상이다. 즉, 임의의 집합 $Z$ 및 함수 $g_1,g_2:Z\to X$에 대하여, 만약 $f\circ g_1=f\circ g_2$라면 $g_1=g_2$이다.
• $f$는 집합의 범주에서의 분할 단사 사상이다. 즉, $g\circ f$가 $X$ 위의 항등 함수를 이루는 함수 $g:Y\to X$가 존재한다.

성질

임의의 함수 $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$가 주어졌다고 하자.

• 만약 $f$와 $g$가 둘 다 단사 함수라면, $g\circ f$ 역시 단사 함수이다.
• 만약 $g\circ f$가 단사 함수라면, $f$ 역시 단사 함수이다. 하지만 $g$가 단사 함수일 필요는 없다.

두 집합 $X$, $Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 단사 함수 $f:X\to Y$가 존재한다.
• $|X|\le |Y|$이다. 여기서 $|\cdot |$는 집합의 크기이다.

정의역의 크기가 0 또는 1인 함수는 항상 단사 함수이다.

예

• 항등 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
• 임의의 집합 $X$ 및 그 부분 집합 $Y\subset X$에 대하여, 포함 함수 $Y\to X$는 단사 함수이다.
• $f:ℝ\to ℝ,f(x)=2x+1$로 정의된 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
• $g:ℝ\to ℝ,g(x)=x^2$으로 정의된 함수는 단사 함수가 아니다. 예를 들어 $g(1)=1=g(-1)$이다.
  • 그러나, 만약 $g$의 정의역을 음이 아닌 실수 $[0,+\mathrm{\infty })$로 제한한다면 $g$는 단사 함수이다.
• 지수 함수 $\exp :ℝ\to ℝ,x\mapsto e^x$는 단사함수이다. (하지만 음수에서의 값이 없으므로 전사 함수가 아니다.)
• 자연 로그 함수 $\ln :(0,+\mathrm{\infty })\to ℝ,x\mapsto \ln x$는 단사 함수이다.

역사

유럽 언어에서 쓰이는 용어 "인젝션"(틀:Llang), "앵젝시옹"(틀:Llang) 등은 "이니엑티오"(틀:Llang)에서 유래하였으며, 이는 "인"(틀:Llang, 안에) + "야키오"(틀:Llang, 던지다)에서 기원하였다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

같이 보기

• 전단사 함수
• 전사 함수
• 단사 사상

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드