특성 부분군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 특성 부분군(特性部分群, 틀:Llang)은 주어진 군의 모든 자기 동형 사상에 대하여 불변인 부분군이다.

정의

군 $G$의 부분군 $H$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $H$를 $G$의 특성 부분군이라고 한다.

• 임의의 $\varphi \in \mathrm{Aut}(G)$에 대하여, $\varphi (H)\subseteq H$
• 임의의 $\varphi \in \mathrm{Aut}(G)$에 대하여, $\varphi (H)=H$. 즉, $H$는 $G$의 자기 동형 사상에 대하여 불변이다.

성질

주어진 군의 모든 특성 부분군은 정규 부분군이다.

만약 $H$가 $G$의 특성 부분군이며, $K$가 $H$의 특성 부분군이라면, $K$는 $G$의 특성 부분군이다. 만약 $H$가 $G$의 정규 부분군이며, $K$가 $H$의 특성 부분군이라면, $K$는 $G$의 정규 부분군이다. 틀:증명 우선, $H$가 $G$의 특성 부분군이며, $K$가 $H$의 특성 부분군이라고 가정하자. 임의의 $\varphi \in \mathrm{Aut}(G)$에 대하여, $\varphi (K)=K$를 보이면 된다. $\varphi (H)=H$이므로 $\varphi {|}_H\in \mathrm{Aut}(H)$이며, 따라서

$\varphi (K)=\varphi {|}_H(K)=K$

이다.

이제, $H$가 $G$의 정규 부분군이며, $K$가 $H$의 특성 부분군이라고 가정하자. 임의의 $\varphi \in \mathrm{Inn}(G)$에 대하여, $\varphi (K)=K$를 보이면 된다. $\varphi (H)=H$이므로 $\varphi {|}_H\in \mathrm{Aut}(H)$이며, 따라서

$\varphi (K)=\varphi {|}_H(K)=K$

이다. 틀:증명 끝

예

군 $G$에 대하여, 다음 부분군들은 $G$의 특성 부분군이다.

• 자명 부분군 $\{1_G\}$
• $G$
• 중심 $\mathrm{Z}(G)$

같이 보기

• 특성 단순군

외부 링크

• 틀:Eom