구체적 범주

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 구체적 범주(具體的範疇, 틀:Llang)는 추가 구조를 갖는 집합들의 범주로 생각할 수 있는 범주이다.

정의

구체적 범주 $(𝒞,F)$는 다음과 같은 데이터로 구성된 순서쌍이다.

• $𝒞$는 범주이다.
• $F:𝒞\to \mathrm{Set}$는 집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$로 가는 충실한 함자이다. 이 함자를 망각 함자(틀:Llang)라고 한다.

예

흔히 등장하는 대부분의 범주들은 구체적 범주이다.

• 집합의 범주 $\mathrm{Set}$는 항등 함자를 통해 구체적 범주이다.
• 대수적 구조들의 범주는 모두 구체적 범주이다.
  • 군의 범주 $\mathrm{Grp}$
  • 아벨 군의 아벨 범주 $\mathrm{Ab}$
  • 가환환의 범주 $\mathrm{CRing}$
  • 가환 유사환의 범주 $\mathrm{CRng}$
  • 환의 범주 $\mathrm{Ring}$
  • 유사환의 범주 $\mathrm{Rng}$
  • 체의 범주 $\mathrm{Field}$
• 대부분의 기하학적 공간들 또한, 그 점들의 집합을 생각하여 구체적 범주로 만들 수 있다.
  • 위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$
  • 체 $K$에 대한 벡터 공간의 범주 $K\text{-Vect}$
• 임의의 군 $G$는 하나의 대상을 갖고, 모든 사상들이 가역원을 갖는 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 임의의 충실한 $G$-작용 $G\to \mathrm{Sym}(S)$이 주어질 경우, 이를 통해 $G$를 구체적 범주로 만들 수 있다. 예를 들어, $G$의, 스스로에 대한 작용은 항상 충실하므로 이 작용을 사용할 수 있다.
• 임의의 부분 순서 집합 $(S,\le )$은 순서 관계를 사상으로 삼아 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 각 대상 $s\in S$를 집합 $S_{\le s}=\{t\in S|t\le s\}$로 대응시키고, 모든 사상 $s\le t$를 포함 관계 $S_{\le s}\hookrightarrow S_{\le t}$로 대응시키는 함자를 통해 구체적 범주로 만들 수 있다.

위상 공간과 그 사이의 연속 함수들의 호모토피류들의 범주 $\mathrm{hTop}$는 구체적 범주로 만들 수 없다.