상 (수학)

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 상(像, 틀:Llang)은 어떤 함수에 대한 정의역의 원소(들)에 대응하는 공역의 원소(들)이다. 반대로, 원상(原像, 틀:Llang) 또는 역상(逆像, 틀:Llang)은 어떤 함수에 대한 공역의 원소(들)에 대응하는 정의역의 원소(들)이다.

정의

정의역이 $X$, 공역이 $Y$인 함수 $f:X\to Y$를 생각하자. 정의역의 원소 $x\in X$의, 함수 $f$에 대한 상은 공역의 원소 $f(x)\in Y$이다. 정의역의 부분 집합 $A\subseteq X$의, 함수 $f$에 대한 상은 공역의 부분 집합

$f(A)=\{f(x):x\in A\}\subseteq Y$

이다.

공역의 원소 $y\in Y$의, 함수 $f$에 대한 원상은 정의역의 부분 집합

$f^{-1}(y)=\{x\in X:f(x)=y\}\subseteq X$

이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분 집합이라는 데 주의하자. 공역의 부분 집합 $B\subseteq Y$의, 함수 $f$에 대한 원상은 정의역의 부분 집합

$f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}\subseteq X$

이다.

정의역의 상을 치역이라고 한다. 반대로, 공역의 원상은 항상 정의역이다.

상과 원상의 표기는 다음과 같이 여러 가지가 있다.

상	원상
$f(A)$	$f^{-1}(B)$
$f[A]$	$f^{-1}[B]$
$f_{*}(A)$	$f^{*}(B)$
$f^{\to }(A)$	$f^{\leftarrow }(B)$

성질

합성

임의의 함수 $f:X\to Y$ 및 $g:Y\to Z$에 대하여, 그 합성 $g\circ f:X\to Z$의 상과 원상은 다음과 같다.

$(g\circ f)(A)=g(f(A))(A\subseteq X)$

$(g\circ f{)}^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))(C\subseteq Z)$

즉, 상은 함자

$\mathrm{Set}\to \mathrm{Set}$

$X\to 𝒫(X)$

$(f:X\to Y)\mapsto (f:𝒫(X)\to 𝒫(Y))$

를 정의하며, 원상은 함자

${\mathrm{Set}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$

$X\to 𝒫(X)$

$(f:X\to Y)\mapsto (f^{-1}:𝒫(Y)\to 𝒫(X))$

를 정의한다.

단조성

임의의 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 다음이 성립한다.

• 만약 $A\subseteq A^{\prime }\subseteq X$라면, $f(A)\subseteq f(A^{\prime })$
• 만약 $B\subseteq B^{\prime }\subseteq Y$라면, $f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(B^{\prime })$

즉, 임의의 함수 $f:X\to Y$에 대하여,

$f:𝒫(X)\to 𝒫(Y)$

$f^{-1}:𝒫(Y)\to 𝒫(X)$

는 (범주로 본) 멱집합 격자 사이의 두 함자를 이룬다.

상과 원상 사이의 관계

임의의 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• 임의의 $A\subseteq X$에 대하여,
  • $f^{-1}(f(A))\supseteq A$
  • 만약 $f$가 단사 함수라면, $f^{-1}(f(A))=A$
• 임의의 $B\subseteq X$에 대하여,
  • $f(f^{-1}(B))\subseteq B$
  • 만약 $f$가 전사 함수라면, $f(f^{-1}(B))=B$
• 임의의 $A\subseteq X$ 및 $B\subseteq Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • $f(A)\subseteq B$
  • $A\subseteq f^{-1}(B)$

이에 따라, 임의의 함수 $f:X\to Y$에 대하여, $f:𝒫(X)\to 𝒫(Y)$와 $f^{-1}:𝒫(Y)\to 𝒫(X)$는 서로 수반 함자이다.

$f⊣f^{-1}$

기타 성질

그 밖에도, 임의의 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• 정의역 속의 집합족 $(A_i{)}_{i\in I}\subseteq 𝒫(X)$에 대하여,

  $f\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_i)$

  $f\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_i)$

• 공역 속 집합족 $(B_j{)}_{j\in J}\subseteq 𝒫(Y)$에 대하여,

  $f^{-1}\left(\bigcup _{j\in J}{B}_j\right)=\bigcup _{j\in J}{f}^{-1}\left(B_j\right)$

  $f^{-1}\left(\bigcap _{j\in J}{B}_j\right)=\bigcap _{j\in J}{f}^{-1}\left(B_j\right)$

• 정의역의 두 부분 집합 $A,A^{\prime }\subseteq X$에 대하여,

  $f(A\setminus A^{\prime })\supseteq f(A)\setminus f(A^{\prime })$

• 공역의 두 부분 집합 $B,B^{\prime }\subseteq Y$에 대하여,

  $f^{-1}(B\setminus B^{\prime })=f^{-1}(B)\setminus f^{-1}(B^{\prime })$

외부 링크

• 틀:매스월드
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• 틀:플래닛매스
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• 틀:Proofwiki
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