게이지 변환군

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학과 미분기하학에서 게이지 변환군(gauge變換群, 틀:Llang)은 어떤 주다발의 자기 동형으로 구성된 위상군이다. 그 원소를 게이지 변환(gauge變換, 틀:Llang)이라고 한다. 양-밀스 이론이나 천-사이먼스 이론과 같은 게이지 이론은 이러한 군을 대칭으로 갖는다.

정의

함수로서의 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$
• $G$-매끄러운 주다발 $P\twoheadrightarrow M$

그렇다면, $P$의 게이지 변환은 $P$의 자기 동형 사상이다. 즉, 매끄러운 함수

$\varphi \in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(P,G)$

가운데, 등변 함수 조건

$\varphi (p\cdot g)=g^{-1}\varphi (p)g\mathrm{\forall }(p,g)\in P\times G$

을 만족시키는 것이다.틀:Rp 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

$\begin{array}{ccc}P\times G& \stackrel{(\cdot )}{\to }& P\\ (\varphi ,\mathrm{id})\downarrow (\varphi ,\mathrm{id})& & \varphi \downarrow \varphi \\ G\times G& \to (h,g)\mapsto g^{-1}hg& G\end{array}$

두 게이지 변환 $\varphi ,\chi$는 다음과 같이 점별 곱셈으로 곱할 수 있다.

$(\varphi \chi )(p)=\varphi (p)\chi (p)$

그렇다면, 게이지 변환들의 집합은 위상군을 이룬다. 이를 게이지 변환군이라고 한다.

연관 다발을 통한 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$
• $G$-매끄러운 주다발 $P\twoheadrightarrow M$

그렇다면, 연관 다발 $\mathrm{Ad}(P)=P{\times }_{G}G$을 취할 수 있다. 여기서 $G$의, 스스로 위의 왼쪽 군 작용은 켤레 $g\cdot h=gh{g}^{-1}$이다. 이 올다발의 매끄러운 단면

$\varphi \in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{Ad}(P))$

을 $P$의 게이지 변환이라고 한다.

이 정의는 함수로서의 정의와 동치이다.틀:Rp

무한소 게이지 변환

게이지 변환군 $\mathrm{Aut}(P)={\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{Ad}(P))$에 대응하는 실수 리 대수는 딸림표현 연관 벡터 다발

$\mathrm{ad}(P)=P{\times }_G𝔤$

의 매끄러운 단면

${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{ad}(G))$

의 실수 벡터 공간이다. 이 경우, $𝔤$의 리 괄호는 $G$의 딸림표현 작용에 공변이므로,

$[\mathrm{ad}(g)x,\mathrm{ad}(g)y]=\mathrm{ad}([x,y])$

이는 ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{ad}(G))$ 위에 점별로 잘 정의되며, 이는 실수 리 대수를 이룬다. 그 원소는 무한소 게이지 변환(틀:Llang)으로 해석될 수 있다.

큰 게이지 변환

게이지 변환군 $\mathrm{Aut}(P)$는 위상군이며, 그 연결 성분의 군

${\pi }_0(\mathrm{Aut}(P))=\frac{\mathrm{Aut}(P)}{{\mathrm{Aut}}_0(P)}$

을 정의할 수 있다. 이를 큰 게이지 변환(틀:Llang)의 군이라고 한다. 반면, 항등원을 포함하는 연결 성분 ${\mathrm{Aut}}_0(P)$의 원소를 작은 게이지 변환(틀:Llang)이라고 한다.

성질

연관 벡터 다발의 단면 위의 작용

임의의 $M$ 위의 $G$의 유한 차원 실수 표현 $G\to \mathrm{GL}(V)$이 주어졌을 때, 연관 벡터 다발

$E=P{\times }_{G}V$

의 매끄러운 단면의 공간 ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$를 생각할 수 있다. 게이지 변환군 $\mathrm{Aut}(P)$은 그 위에 다음과 같은 표준적인 왼쪽 군 작용을 갖는다.

$(\varphi \cdot s)(x)=q(p,\varphi (p)v)(s(x)=q(p,v),(p,v)\in P\times V)$

여기서

$q:P\times V\twoheadrightarrow P{\times }_{G}V=E$

는 연관 벡터 다발의 정의에 등장하는 전사 함수이다.

주접속과 주곡률 위의 작용

매끄러운 다양체 $M$ 위의 $G$-주다발 $P\twoheadrightarrow M$ 위의 주접속 $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(P;𝔤)$이 주어졌다고 하자. $P$의 게이지 변환 $\varphi \in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{Ad}(P))$는 주다발의 자기 동형

${\varphi }_{\mathrm{\#}}:P\to P$

${\varphi }_{\mathrm{\#}}:p\mapsto p\cdot \varphi (p)$

를 정의하며, 따라서 주접속 위에도

$\varphi \cdot A={\varphi }_{\mathrm{\#}}^{*}A$

와 같이 작용한다.

게이지 변환군은 주접속 $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(P;𝔤)$의 곡률 $F\in {\mathrm{\Omega }}^2(P;𝔤)$ 위에 마찬가지로 다음과 같이 작용한다.

$F\mapsto {\varphi }_{\mathrm{\#}}^{*}F$

반면, 예를 들어, 킬링 형식 $B(-,-)$ 및 준 리만 계량 $g$에 대하여, 양-밀스 라그랑지언 $B(F,F^{\mathrm{\#}})\in {\mathrm{\Omega }}^0(M)$는 게이지 불변이다.

큰 게이지 변환에 대한 레벨의 양자화

매끄러운 다양체 $M$ 위의 주다발 $P$를 생각하자.

어떤 작용 $S$가 게이지 변환 $\varphi \in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{Ad}(P))$에 대하여 다음과 같은 꼴로 변환한다고 하자.

$\frac{1}{2\pi }S\mapsto \frac{1}{2\pi }S+\sum _i\underset{M}{\int }{F}_i\wedge {\varphi }^{*}{\alpha }_i$

${\alpha }_i\in {\mathrm{\Omega }}^{d_i}(G)$, $((-{)}^g{)}^{*}{\alpha }_i={\alpha }_i$ ($(-{)}^g:G\to G,h\mapsto gh{g}^{-1}$)

$\mathrm{d}{\alpha }_i=0$

$F_i\in {\mathrm{\Omega }}^{n-d_i}(M)$

$\mathrm{d}{F}_i=0$

여기서 ${\alpha }_i$의 당김은 켤레 변환 불변성에 대하여 $\mathrm{Ad}(P)$의 임의의 국소 자명화에 상관없이 잘 정의된다.

이론이 양자장론에 따라 잘 정의되려면 (즉, $\exp (\mathrm{i}S)$가 게이지 불변이려면), 항상

$\sum _i\underset{M}{\int }{F}_i\wedge g^{*}{\alpha }_i\in \mathbb{Z}$

이어야 한다.

만약 $g$가 작은 게이지 변환이라면, ${\alpha }_i$가 완전 미분 형식이 된다. 즉, ${\alpha }_i=\mathrm{d}{\beta }_i$라고 하면,

$\frac{1}{2\pi }S\mapsto \frac{1}{2\pi }S+\sum _i\underset{M}{\int }{\mathrm{F}}_i\wedge {\varphi }^{*}\mathrm{d}{\beta }_i=\frac{1}{2\pi }S+\sum _i(-{)}^{(n-d_i)}\underset{M}{\int }\mathrm{d}(F_i\wedge {\varphi }^{*}{\beta }_i)=\frac{1}{2\pi }S$

가 되어, 이 작용은 작은 게이지 변환에 대하여 불변임을 알 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환에 대하여 불변이 아닐 수 있다. 즉, 만약 ${\alpha }_i$가 자명하지 않은 코호몰로지류를 갖는다면, 이는 이론에서

$[M]⌢([F_i]⌣{\mathrm{H}}^{d_i}(M;ℝ))\in \mathbb{Z}$

의 꼴의 제약을 유도한다. 이는 디랙 양자화의 한 경우이다. (여기서 $[M]\in {\mathrm{H}}_n(M;ℝ)$는 실수 계수 기본류이다.)

특히, 만약 $d_i=n$일 경우, 이는

$F_i\in \mathbb{Z}$

를 유도한다. 이 경우, 이 값 $F_i\in \mathbb{Z}$를 레벨(틀:Llang)이라고 한다.

예를 들어, 아벨 또는 비아벨 천-사이먼스 이론이 이와 같은 경우에 해당한다.

예

자명한 주다발

$P=M\times G$가 자명한 주다발이라고 하자 (즉, 대역적 단면이 주어졌다고 하자). 이 경우, 표준적으로 $\mathrm{Ad}(P)=M\times G$가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 $M\to G$가 된다.

함수를 통한 정의:

만약 $P=M\times G$가 자명한 주다발이라면, 매끄러운 함수 $\varphi \in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,G)$에 대응하는 게이지 변환은

$\varphi (m,g)=g^{-1}\varphi (m)g\mathrm{\forall }(m,g)\in P=M\times G$

이다.

연관 다발을 통한 정의:

만약 $P=M\times G$가 자명한 주다발이라면, $\mathrm{Ad}(P)=M\times G$이다. 구체적으로, $\mathrm{Ad}(P)$의 올을

$G{\times }_{G}G=\frac{G\times G}{(gk,h)\sim (g,kh{k}^{-1})}$

로 정의하면, 모든 동치류는

$(g,h)\sim (1,gh{g}^{-1})$

의 동치 관계 아래 $(1,g)$의 꼴의 대표원을 갖는다.

만약 $M={𝕊}^n$이 초구이며, $P=M\times G$가 자명한 주다발이라면, 큰 게이지 변환의 군은 호모토피 군 ${\pi }_n(G)$과 집합으로서 같다. 그러나 호모토피 군으로서의 군 연산은 큰 게이지 변환의 군으로서의 군 연산과 일반적으로 다르다.

특히, 만약 $M={𝕊}^3$이며, $G$가 콤팩트 단순 리 군일 경우, ${\pi }_3(G)=\mathrm{Cyc}(\mathrm{\infty })$ (무한 순환군)이 된다.

아벨 주다발

만약 $G$가 아벨 리 군이라고 하고, 이를 올로 갖는 매끄러운 주다발 $P$를 생각하자. 이 경우, $G$ 위의 켤레 작용이 자명하므로, 표준적으로

$\mathrm{Ad}(P)=P{\times }_{G}G=M\times G$

가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 $M\to G$가 된다. 마찬가지로, 무한소 게이지 변환은 리 대수 값 미분 형식 ${\mathrm{\Omega }}^1(M){\otimes }_{ℝ}𝔩𝔦𝔢(G)$가 된다.

이 경우, 주접속의 곡률은 사실 $M$ 위의 리 대수 값 미분 형식 $F\in {\mathrm{\Omega }}^2(M){\otimes }_{ℝ}𝔩𝔦𝔢(G)$가 되며, 이는 게이지 불변이다.

같이 보기

• 게이지 대칭 (수학)
• 게이지 이론
• 게이지 이론 (수학)
• 주다발

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab