로랑 다항식

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 로랑 다항식(Laurent多項式, 틀:Llang)은 어떤 형식적 변수의 음 또는 양의 거듭제곱을 단항식으로 하고, 유한 개의 단항식들로 구성된 다항식이다. 로랑 다항식들의 집합은 가환 및 쌍대가환 호프 대수를 이루며, 이는 다항식환의 국소화 또는 군환으로서 구성될 수 있다.

정의

임의의 가환환 $K$가 주어졌다고 하자. 로랑 다항식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

가환환론적 정의

$K$ 계수의 다항식환 $K[𝗑]$에서, $𝗑$로 생성되는 곱셈 부분 모노이드

$S=\{1,𝗑,{𝗑}^2,{𝗑}^3,\dots \}\subseteq K[𝗑]$

를 생각하자. 이에 대한 국소화 $(K[𝗑]{)}_{𝗑}$를 취할 수 있다. 이를 $K[𝗑,{𝗑}^{-1}]$로 표기하며, $K$ 계수의 로랑 다항식의 대수라고 한다.

군론적 정의

무한 순환군 $⟨𝗑⟩$의 $K$ 계수의 군환을 로랑 다항식의 대수라고 한다.

구체적으로, 편의상, 무한 순환군의 군 연산을 곱셈으로 표기하자. 즉,

$⟨𝗑⟩=\{\dots ,{𝗑}^{-2},{𝗑}^{-1},1,𝗑,{𝗑}^2,\dots \}$

이다. 이 경우, 그 원소는

$p=\sum _{i\in \mathbb{Z}}{p}_i{𝗑}^i(p_i\in K)$

의 꼴이 된다.

군환의 일반적 성질에 따라서, 로랑 다항식의 대수는 호프 대수를 이룬다.

구체적 정의

$K$ 계수의 로랑 다항식은 다음과 같은 형식적 다항식이다.

$p=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{p}_k{𝗑}^k(p_i\in K)$

$|\{k\in \mathbb{Z}:p_k\ne 0\}|<\mathrm{\infty }$

즉, 이는 형식적 변수 $𝗑$의 양 또는 음의 차수의 거듭제곱들의 항으로 구성된 다항식이며, 항의 수는 유한하다.

그 덧셈과 곱셈은 다음과 같다.

$p+q=\sum _{k\in 𝖹}(p_k+q_k){𝗑}^k$

$pq=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\left(\sum _{i+j=k}{p}_i{q}_j\right){𝗑}^k$

이에 따라, 로랑 다항식들의 집합은 $K$ 위의, 항등원을 갖는 가환 결합 대수를 이룬다. 이를 $K[𝗑,{𝗑}^{-1}]$로 표기한다.

성질

체 $K$에 대하여, $𝖪[x,x^{-1}]$는 뇌터 가환환이다. 그러나 이는 아르틴 가환환이 아니다.

가역원

만약 $K$가 정역일 경우, $K[𝗑,{𝗑}^{-1}]$의 가역원의 집합은 다음과 같다.

$\mathrm{Unit}(K[𝗑,{𝗑}^{-1}])=\{a{𝗑}^i\in K[𝗑,{𝗑}^{-1}]:a\in \mathrm{Unit}(K),i\in \mathbb{Z}\}$

값매김

임의의 가환환 $K$의 가역원 $u\in \mathrm{Unit}(K)$에 대하여, 다음과 같은 값매김 준동형(틀:Llang)이 존재한다.

${\mathrm{ev}}_u:K[𝗑,{𝗑}^{-1}]\to K$

${\mathrm{ev}}_u:p\mapsto \sum _{i\in \mathbb{Z}}{p}_i{u}^i\in K$

이는 $K$-가환 결합 대수의 준동형이다.

미분

로랑 다항식환 위에는 다음과 같은 형식적 미분이 정의된다.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}𝗑}:K[𝗑,{𝗑}^{-1}]\to K[𝗑,{𝗑}^{-1}]$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}𝗑}:p\mapsto \sum _{i\in \mathbb{Z}}(i+1)p_{i+1}{𝗑}^i$

역사

‘로랑 다항식’이라는 용어는 피에르 알퐁스 로랑의 이름을 딴 것이며, 복소해석학에서 쓰이는 정칙 함수의 로랑 급수에 빗댄 것이다. 그러나 이름과 달리 로랑 급수는 일반적으로 무한 개의 음의 차수 단항식 및 무한 개의 양의 차수 단항식들을 가질 수 있으므로 일반적으로 로랑 다항식이 아니다.

같이 보기

• 존스 다항식

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Nlab