군 코호몰로지

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 군 코호몰로지(群cohomology, 틀:Llang)와 군 호몰로지(群homology, 틀:Llang)는 군 위에 정의되는 코호몰로지 · 호몰로지 이론이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 군 $G$. 이로부터 군환 $\mathbb{Z}[G]$를 정의할 수 있다.
• $\mathbb{Z}[G]$-왼쪽 가군 ${}_{\mathbb{Z}[G]}M$

임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $G$의 $M$계수 $n$차 군 호몰로지 ${\mathrm{H}}_n(G;M)$ 및 $G$의 $M$계수 $n$차 군 코호몰로지 ${\mathrm{H}}^n(G;M)$는 각각 아벨 군이다. 이들은 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.

• 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자 및 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수 있다.
• 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 특별한 Ext 함자 및 Tor 함자로서 정의될 수 있다.
• 군 (코)호몰로지는 구체적인 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로서 정의될 수 있다.

유도 함자를 통한 정의

군 코호몰로지는 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의될 수 있다.

구체적으로, 군 $G$가 주어졌다고 하자. $\mathbb{Z}[G]$의 왼쪽 가군들의 범주 ${}_{\mathbb{Z}[G]}\text{Mod}$는 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.

다음과 같은 함자를 정의하자.

$(-{)}^G:{}_{\mathbb{Z}[G]}\text{Mod}\to \mathrm{Ab}$

$(-{)}^G:M\mapsto M^G=\bigcap _{g\in G}{\ker }_M(1-g)=\{m\in M:\mathrm{\forall }g\in M:m=gm\}$

즉, 이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.

$(-{)}^G$는 왼쪽 완전 함자이다. 그 $n$번째 오른쪽 유도 함자를 $G$의 $n$차 군 코호몰로지라고 한다.

${\mathrm{H}}^n(G;-)={\mathrm{R}}^n(-{)}^G$

마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자.

$(-{)}_G:{}_{\mathbb{Z}[G]}\text{Mod}\to \mathrm{Ab}$

$(-{)}_G:M\mapsto \frac{M}{\mathrm{D}(M)}$

여기서

$\mathrm{D}(M)=\sum _{g\in G}(1-g)M\subseteq M$

이다. 즉, $M_G$는 $M$의 쌍대 불변량(틀:Llang)으로 구성된다.

$(-{)}_G$는 오른쪽 완전 함자이다. 그 $n$번째 왼쪽 유도 함자를 $G$의 $n$차 군 호몰로지라고 한다.

${\mathrm{H}}_n(G;-)={\mathrm{L}}^n(-{)}_G$

Ext와 Tor를 통한 정의

군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.

구체적으로, 군 $G$ 및 $\mathbb{Z}[G]$-왼쪽 가군 ${}_{\mathbb{Z}[G]}M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\mathbb{Z}$를 자명한 $\mathbb{Z}[G]$-왼쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 $g\in G$ 및 $n\in \mathbb{Z}$에 대하여 $g\cdot n=n$이다.) 그렇다면, $\mathbb{Z}[G]$-왼쪽 가군의 범주 ${}_{\mathbb{Z}[G]}\mathrm{Mod}$에서 Ext 함자를 취할 수 있다. $G$의 $M$ 계수의 군 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.

${\mathrm{H}}^n(G;M)={\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}[G]}^n(\mathbb{Z},M)$

마찬가지로, $\mathbb{Z}$를 자명한 $\mathbb{Z}[G]$-오른쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 $g\in G$ 및 $n\in \mathbb{Z}$에 대하여 $n\cdot g=n$이다.) 그렇다면, 오른쪽 가군 ${\mathbb{Z}}_{\mathbb{Z}[G]}$와 왼쪽 가군 ${}_{\mathbb{Z}[G]}M$ 사이의 Tor 함자를 취할 수 있다. $G$의 $M$ 계수의 군 호몰로지는 다음과 같은 Tor 함자이다.

${\mathrm{H}}_n(G;M)={\mathrm{Tor}}_n^{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)$

군 코호몰로지의 구체적 정의

$G$가 군이고 $M$이 $\mathbb{Z}[G]$-가군이라고 하자. 양의 정수 $n$에 대하여, $n$차 공사슬(共사슬, 틀:Llang)을 $G^n\to M$ 함수로 정의하고, $n$차 공사슬의 집합을 $C^n(G,M)$으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 $G^n$은 군의 직접곱 $G\times G\times \cdots \times G$이다.)

공경계 준동형(共境界準同形, 틀:Llang) $d^n:C^n(G,M)\to C^{n+1}(G,M)$을 다음과 같이 정의하자.

$\left(d^n\phi \right)(g_0,\dots ,g_n)=g_0\cdot \phi (g_1,\dots ,g_n)$

$+\sum _{i=1}^n(-1{)}^i\phi (g_0,\dots ,g_{i-2},g_{i-1}{g}_i,g_{i+1},\dots ,g_n)$

$+(-1{)}^{n+1}\phi (g_0,\dots ,g_{n-1})$

이렇게 정의하면

$d^{n+1}\circ d^n=0$

임을 알 수 있다. 따라서 $C^n$은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라

${\mathrm{H}}^n(G;M)=\frac{\ker d^n}{\mathrm{im}{d}^{n-1}}$

과 같이 코호몰로지 군 ${\mathrm{H}}^n(G;M)$을 정의할 수 있다. 이를 $M$계수를 가진 $G$의 $n$차 군 코호몰로지라고 한다.

군 호몰로지의 구체적 정의

$G$가 군이고 $M$이 $\mathbb{Z}[G]$-왼쪽 가군이라고 하자.

양의 정수 $n$에 대하여, $n$차 사슬(틀:Llang)의 집합은 $C_n(G;M)=\mathbb{Z}[G^{\times n}]{\otimes }_{\mathbb{Z}}M$ 이다.

그 사이에 다음과 같은 경계 준동형(境界準同形, 틀:Llang)을 정의하자.

$\partial :(g_1,g_2,\dots ,g_n,m)\mapsto (g_2,\dots ,g_n,m)+\sum _{i=1}^{n-1}(-{)}^i(g_1,\dots ,g_{i-1},g_i{g}_{i+1},g_{i+2},\dots ,g_n,m)+(-{)}^n(g_1,\dots ,g_{n-1},g_{n}m)$

그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.

$\cdots \stackrel{\partial }{\to }{C}_2(G;M)\stackrel{\partial }{\to }{C}_1(G;M)\stackrel{\partial }{\to }{C}_0(G;M)\to 0$

(이는 막대 복합체 ${\mathrm{Bar}}_n^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}[G],M)$과 같다.) 그 호몰로지 군

${\mathrm{H}}_n(G;M)=\frac{\ker {\partial }_n}{\mathrm{im}{\partial }_{n+1}}$

을 $M$계수를 가진 $G$의 $n$차 군 호몰로지라고 한다.

구체적 정의의 유도

구체적 정의는 Ext · Tor를 사용한 정의로부터 다음과 같이 유도된다.

우선, 아벨 군의 아벨 범주 $\mathrm{Ab}={\mathrm{Mod}}_{\mathbb{Z}}$에서, $\mathbb{Z}$-결합 대수 (즉, 환) $\mathbb{Z}[G]$의 왼쪽 가군 ${}_{\mathbb{Z}[G]}\mathbb{Z}$ 및 오른쪽 가군 $\mathbb{Z}[G{]}_{\mathbb{Z}[G]}$를 생각하자. 그렇다면, 물론

$\mathbb{Z}[G]{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}$

이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 막대 복합체를 생각하자.

${\mathrm{Bar}}_n^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}[G],\mathbb{Z}[G],\mathbb{Z})=\stackrel{n+1}{\overbrace{\mathbb{Z}[G]{\otimes }_{\mathbb{Z}}\cdots {\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}[G]}}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}[\stackrel{n}{\overbrace{G\times \cdots \times G}}]$

그렇다면,

$\cdots \stackrel{\partial }{\to }\mathbb{Z}[G\times G]\stackrel{\partial }{\to }\mathbb{Z}[G]\twoheadrightarrow \mathbb{Z}$

는 $\mathbb{Z}$의 분해를 이룬다.

막대 복합체의 모든 성분들은 $\mathbb{Z}[G]$-사영 가군이므로, 막대 복합체 $\mathrm{Bar}(\mathbb{Z}[G],\mathbb{Z}[G],\mathbb{Z})$는 $\mathbb{Z}$의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, Ext 함자 ${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}[G]}^n(\mathbb{Z},M)$은 다음과 같은 공사슬 복합체의 코호몰로지로 얻어진다.

$0\to {\mathrm{hom}}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}[G],M)\to {\mathrm{hom}}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}[G\times G],M)\to \cdots$

그런데 $\mathbb{Z}[G^{\times (n+1)}]$은 $\mathbb{Z}[G]$-자유 가군이므로, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

${\mathrm{hom}}_{\mathrm{Set}}(G^{\times n},M)\to {\mathrm{hom}}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}[G^{\times (n+1)}],M)$

여기서 ${\mathrm{hom}}_{\mathrm{Set}}(G^{\times n},M)$은 모든 함수 $G^n\to M$의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는 $n$차 공사슬의 집합과 같다.

마찬가지로, Tor 함자 ${\mathrm{Tor}}_{\bullet }^{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)$은 ${\mathbb{Z}}_{\mathbb{Z}[G]}$의 사영 분해 ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}[G],\mathbb{Z}[G])$를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체

${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}[G],M)$

의 호몰로지로 계산된다.

$\cdots \to \mathbb{Z}[G^{\times 3}]{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}M\to \mathbb{Z}[G^{\times 2}]{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}M\to \mathbb{Z}[G]{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}M\cong M$

그런데

$\mathbb{Z}[G^{\times (n+1)}]{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}M\cong \mathbb{Z}[G^{\times n}]{\otimes }_{\mathbb{Z}}M$

이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는 $n$차 사슬의 집합과 같다.

성질

낮은 차수의 군 (코)호몰로지

군 코호몰로지의 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

$C^0(G;M)=M$

$C^1(G;M)={\mathrm{hom}}_{\mathrm{Set}}(G,M)$

$C^2(G;M)={\mathrm{hom}}_{\mathrm{Set}}(G\times G,M)$

${\mathrm{d}}^0(m):g\mapsto gm-m(m\in M,g\in G)$

${\mathrm{d}}^1(\varphi ):(g,h)\mapsto g\varphi (h)-\varphi (gh)+\varphi (g)(g,h\in G,\varphi \in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{Set}}(G,M))$

마찬가지로, 군 호몰로지의 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

$C_0(G;M)=M$

$C_1(G;M)=\mathbb{Z}[G]{\otimes }_{\mathbb{Z}}M$

$C_2(G;M)=\mathbb{Z}[G\times G]{\otimes }_{\mathbb{Z}}$

${\partial }_0:C_1(G;M)\to C_0(G;M)$

${\partial }_1:(g,m)\mapsto m-gm$

${\partial }_2:(g,h,m)\mapsto (h,m)-(gh,m)+(g,hm)$

이에 따라, 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 다음과 같이 해석된다. (마지막 열은 $G$의 $M$ 위의 작용이 자명할 경우에 대한 특별한 해석이다.)

공사슬 종류	기호	해석	자명한 작용일 경우의 해석
0차 완전 공사슬	$\mathrm{im}{\mathrm{d}}_{-1}$	$0\in M$
0차 닫힌 사슬	$\ker {\partial }_0$	임의의 원소 $m\in M$
0차 닫힌 공사슬	$\ker {\mathrm{d}}_0$	불변량: $m\in M$ 가운데, 임의의 $g\in G$에 대하여 $gm=m$인 것	임의의 원소 $m\in M$
0차 완전 사슬	$\mathrm{im}{\partial }_1$
1차 닫힌 공사슬	$\ker {\mathrm{d}}_1$	교차 준동형(틀:Llang): 함수 $\varphi :G\to M$ 가운데, $\varphi (gh)=\varphi (g)+g\varphi (h)$인 것	군 준동형 $(G,\cdot )\to (M,+)$
1차 완전 공사슬	$\mathrm{im}{\mathrm{d}}_0$	주 교차 준동형(틀:Llang, $m\in M$에 대하여, $g\mapsto (g-1)m$ 꼴의 교차 준동형)들의 선형 결합	상수 함수 $g\mapsto 0$
1차 닫힌 사슬	$\ker {\partial }_1$	선형 결합 $\sum _i{\alpha }_i(g_i,m)$ 가운데, $\sum _i{\alpha }_i{g}_i{m}_i=\sum _i{\alpha }_i{m}_i$인 것	선형 결합 $\sum _i{\alpha }_i(g_i,m)$
1차 완전 사슬	$\mathrm{im}{\partial }_2$	$(h,m)-(gh,m)+(g,hm)$ 꼴의 선형 결합들의 합 ($g,h\in G,m\in M$)	${\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}\{g+h-gh:g,h\in G\}{\otimes }_{\mathbb{Z}}M$의 원소

특히, 만약 $G$의 $M$ 위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다.

${\mathrm{H}}^0(G;M)=M$

${\mathrm{H}}_0(G;M)=0$

${\mathrm{H}}^1(G;M)={\mathrm{hom}}_{\mathrm{Grp}}(G,M)$

2차 군 코호몰로지 ${\mathrm{H}}^1(G;M)$는 군 $(G,\cdot )$의 아벨 군 $(M,+)$에 대한 확대들을 분류한다.

위상 코호몰로지와의 관계

만약 $G$의 $M$ 위의 작용이 자명하다면, 군 호몰로지와 군 코호몰로지는 각각 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 $\mathrm{B}G$의 특이 호몰로지 및 특이 코호몰로지와 동형이다.

${\mathrm{H}}_k(G;M)={\mathrm{H}}_k^{\text{sing}}(\mathrm{B}G;M)$

${\mathrm{H}}^k(G;M)={\mathrm{H}}_{\text{sing}}^k(\mathrm{B}G;M)$

증명:

$G$의 분류 공간은 단체 집합 ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{\mathrm{Set}}(1,G,1)$이다. 그 정수 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체

${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}[G],\mathbb{Z})$

로 주어지며, $M$계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체

${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}[G],\mathbb{Z}){\otimes }_{\mathbb{Z}}M$

으로 주어진다. 그런데 이는 군 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체와 같다.

마찬가지로, 분류 공간 $\mathrm{B}G$의 $M$계수 단체 코호몰로지는 공사슬 복합체

${\mathrm{hom}}_{\mathbb{Z}}({\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}[G],\mathbb{Z}),M)$,

로 주어진다. 그런데 이는 $G$의 $M$계수 군 코호몰로지와 같다.

보다 일반적으로, 만약 $G$의 작용이 자명하지 않다면, $M$은 $\mathrm{B}G$ 위의 일종의 층 $\underset{\_}{M}$을 정의하며, 이 층의 층 (코)호몰로지는 $G$의 $M$계수 군 (코)호몰로지와 같다.

${\mathrm{H}}^{\bullet }(G;M)\cong {\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{B}G;\underset{\_}{M})$

${\mathrm{H}}_{\bullet }(G;M)\cong {\mathrm{H}}_{\bullet }(\mathrm{B}G;\underset{\_}{M})$

예

자유군

$k$개의 원소로 생성되는 자유군 $F_k$을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 $M$에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

${\mathrm{H}}^n(F_k;M)={\mathrm{H}}_n(F_k;M)=\{\begin{array}{cc}M& n=0\\ M^{\oplus k}& n=1\\ 0& n>1\end{array}$

순환군

$k$차 순환군 $\mathrm{Cyc}(k)$을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 $M$에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

${\mathrm{H}}^n(\mathrm{Cyc}(k);M)={\mathrm{H}}_n(\mathrm{Cyc}(k);M)=\{\begin{array}{cc}M& n=0\\ (\ker n)\subseteq M& 2\nmid n\\ M/nM& 2\mid n>0\end{array}$

여기서 $\ker n=\{m\in M:nm=0\}$은 $M$의 $n$-꼬임 부분군이다.

이는 순환군의 분류 공간인 ${𝕊}^{\mathrm{\infty }}/\mathrm{Cyc}(k)$의 특이 호몰로지와 같다. 특히, $k=2$일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 ${\mathrm{RP}}^{\mathrm{\infty }}$의 특이 호몰로지이다.

자유 아벨 군

$k$차 자유 아벨 군 ${\mathbb{Z}}^{\oplus k}$을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 $M$에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

${\mathrm{H}}^n({\mathbb{Z}}^{\oplus k};M)={\mathrm{H}}_n({\mathbb{Z}}^{\oplus k};M)=M^{\oplus (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n})}$

여기서 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n})$은 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군의 분류 공간인 원환면 ${𝕋}^k$의 특이 호몰로지와 같다.

같이 보기

• 포스트니코프 탑

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

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