킬링 형식

틀:위키데이터 속성 추적 리 군 이론에서, 킬링 형식(Killing形式, 틀:Llang)은 리 대수 위에 자연스럽게 존재하는 대칭 쌍선형 형식이다. 리 대수의 딸림표현의 곱의 대각합이다.

정의

추상적 정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$가 주어졌다고 하고, 또한 $𝔤$가 유한 차원 $K$-자유 가군이라고 하자. 이제, $𝔤$의 딸림표현

$\mathrm{ad}:𝔤\to \mathrm{GL}(𝔤;k)$

$\mathrm{ad}(x):y\mapsto [x,y]$

를 생각하자. 그렇다면, $𝔤$의 킬링 형식

$B:𝔤\times 𝔤\to K$

는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.

$B(a,b)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}(a)\mathrm{ad}(b))$

여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

리 초대수의 경우

보다 일반적으로, 체 $K$ 위의 리 초대수 $𝔤$가 주어졌다고 하고, 또한 $𝔤$가 유한 차원 $K$-초벡터 공간이라고 하자. 이제, $𝔤$의 딸림표현

$\mathrm{ad}:𝔤\to \mathrm{End}(𝔤;K)$

$\mathrm{ad}(x):y\mapsto [x,y\}$

를 생각하자. 그렇다면, $𝔤$의 킬링 형식

$B:𝔤\times 𝔤\to K$

는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.틀:Rp

$B(a,b)=\mathrm{str}(\mathrm{ad}(a)\mathrm{ad}(b))$

여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

성분을 통한 정의

체 위의 유한 차원 리 대수 $𝔤$의 기저 $(x_i{)}_{i\in I}$를 잡고, 이에 대한 구조 상수가

$[x_i,x_j]=f_{ij}{}^k{x}_k$

라고 하자. 그렇다면, $𝔤$의 킬링 형식은 다음과 같다.

$B(x_i,x_j)=B_{ij}=\sum _k\sum _l{f}_{ik}{}^l{f}_{jl}{}^k$

성질

킬링 형식은 대각합의 순환성($\mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}(YX)$)에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이룬다.

킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

$B([x,y],z)=B(x,[y,z])$

리 초대수의 킬링 형식

체 $K$ 위의 유한 차원 리 초대수 $𝔤$의 킬링 형식 $B$는 다음과 같은 성질을 갖는다.틀:Rp

$B({𝔤}_0,{𝔤}_1)=0$

$B(x,y)=(-{)}^{\mathrm{deg}x\mathrm{deg}y}B(y,x)\mathrm{\forall }x,y\in {𝔤}_0\cup {𝔤}_1$

$B([x,y\},z)=B(x,[y,z\})\mathrm{\forall }x,y,z\in 𝔤$

단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.틀:Rp

• $𝔰𝔩(n|n)$
• $𝔬𝔰𝔭(4|2;\alpha )$
• $𝔬𝔰𝔭(2n+2|2n)$
• $𝔭(n)$
• $𝔮(n)$

나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.

직합

체 $K$ 위의 두 유한 차원 리 (초)대수 $𝔤$, ${𝔤}^{\prime }$에 대하여, 그 직합 $𝔤\oplus {𝔤}^{\prime }$의 킬링 형식은 다음과 같다.

$B_{𝔤\oplus {𝔤}^{\prime }}(x\oplus x^{\prime },y\oplus y^{\prime })=B_{𝔤}(x,y)+B_{𝔥}(x^{\prime },y^{\prime })(x,y\in 𝔤,x^{\prime },y^{\prime }\in {𝔤}^{\prime })$

실수체 위의 리 대수

만약 $𝔤$가 단순 리 대수라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다.

리 대수가 반단순 리 대수인 필요 충분 조건은 그 킬링 형식이 비퇴화 쌍선형 형식인 것이다. 이를 카르탕 조건(Cartan條件, 틀:Llang)이라고 한다.

실수체 위의 콤팩트 리 대수의 킬링 형식은 항상 음의 정부호 쌍선형 형식이다.

예

아벨 리 대수

임의의 체 $K$ 위의 유한 차원 아벨 리 대수 $𝔤$의 킬링 형식은 항상 0이다.

행렬 리 대수

임의의 체 $K$ 및 자연수 $n$에 대하여, 일반 선형 리 대수 $𝔤𝔩(n;K)$의 킬링 형식은 다음과 같다.

$B_{𝔤𝔩(n)}(X,Y)=2n\mathrm{tr}(XY)-2\mathrm{tr}(X)\mathrm{tr}(Y)$

또한, 특수 선형 리 대수 $𝔰𝔩(n;K)$의 킬링 형식은 다음과 같다.

$B_{𝔰𝔩(n)}(X,Y)=2n\mathrm{tr}(XY)$

증명:

편의상, $𝔤𝔩(n;K)$의 기저 $(e_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$가 $(i,j)$번째 성분만이 1이며, 나머지 성분이 모두 0인 행렬이라고 하자. 그렇다면,

$[M,e_{ij}{]}_{ab}={\delta }_{jb}{M}_{ai}-{\delta }_{ia}{M}_{jb}$

이다. 이제, 야코비 항등식에 의하여,

$[M,[N,e_{ij}]]+[e_{ij},[M,N]]+[N,[e_{ij},M]]=0$

이다. 따라서,

$c_{ij}=([M,[N,e_{ij}]{)}_{ij}$

$B(M,N)=\sum _{ij}{c}_{ij}$

라고 놓으면,

$c_{ij}=\left(\sum _{a=1}^n{M}_{ia}{N}_{ai}\right)-M_{ii}{N}_{jj}-N_{ii}{M}_{jj}+\left(\sum _{a=1}^n{N}_{ja}{M}_{aj}\right)$

가 된다. 따라서,

$B(M,N)=\sum _{i,j=1}^n(\left(\sum _{a=1}^n{M}_{ia}{N}_{ai}\right)-M_{ii}{N}_{jj}-N_{ii}{M}_{jj}+\left(\sum _{a=1}^n{N}_{ja}{M}_{aj}\right))=2n\mathrm{tr}(MN)-2\mathrm{tr}M\mathrm{tr}N$

이다.

특수 선형 리 대수의 경우, 표준적인 분해

$𝔰𝔩(n;K)\oplus K\cong 𝔤𝔩(n;K)$

아래, 아벨 리 대수 $K$의 킬링 형식이 0이므로, 이는 일반 선형 리 대수의 경우의 표현을 그대로 사용할 수 있다. (물론, 이 경우 둘째 항이 0이 된다.)

행렬 리 대수의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다.

리 대수	설명	킬링 형식
gl(n, ℂ)	n×n 복소수 행렬	2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
sl(n, ℝ)	n×n 무대각합 복소수 행렬	2n tr(XY)
su(n)	n×n 반에르미트 행렬	2n tr(XY)
so(n, ℝ)	n×n 반대칭 실수 행렬	(n−2) tr(XY)
so(n, ℂ)	n×n 반대칭 복소수 행렬	(n−2) tr(XY)
sp(2n, ℝ)	2n×2n 실수 해밀턴 행렬	(2n+2) tr(XY)
sp(2n, ℂ)	2n×2n 복소수 해밀턴 행렬	(2n+2) tr(XY)

리 대수의 계량과 이중 콕서터 수

단순 리 대수의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가 $\sqrt{2}$가 되게 규격화한다.틀:Rp틀:Rp 이 경우 짧은 근의 길이는 B_n, C_n, F₄인 경우 1 또는 G₂의 경우 $\sqrt{2/3}$이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다.

리 대수	행렬 표현	규격화 계량 형식
su(n)	n×n 반에르미트 행렬	− tr(XY)
so(n, ℝ)	n×n 반대칭 행렬	− ½tr(XY)
usp(2n)	2n×2n 반에르미트 해밀턴 행렬	− tr(XY)
	n×n 사원수 반에르미트 행렬	− tr(XY + YX)
e6	27×27 반에르미트 행렬	− (9/4) tr(XY)
e7	56×56 반대칭 행렬	− (3/2) tr(XY)
e8	248×248 반대칭 행렬	− (41/10) tr(XY)
f4	26×26 반대칭 행렬	− (4/3) tr(XY)
g2	7×7 반대칭 행렬	− (5/8) tr(XY)

이렇게 계량 형식을 규격화하면, 3차원 초구로부터의 임의의 연속 함수 $f:{𝕊}^3\to G$에 대하여 항상

$\frac{1}{48\pi }\underset{G}{\int }⟨g^{-1}dg,[g^{-1}dg,g^{-1}dg]⟩\in \mathbb{Z}$

이다.

이렇게 규격화한 계량 형식을 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$로 놓으면,

$K=-2h^{\vee }⟨\cdot ,\cdot ⟩$

이다.틀:Rp틀:Rp 여기서 $h^{\vee }$는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(틀:Llang)이다. (이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다.

리 대수	an	bn	cn	dn	e6	e7	e8	f4	g2
다른 이름	SU(n+1)	SO(2n+1)	USp(2n)	SO(2n)	—
이중 콕서터 수	n+1	2n−1	n+1	2n−2	12	18	30	9	4

역사

엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다. 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.

같이 보기

• 킬링 벡터장

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용