콕서터 군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 콕서터 군(Coxeter群, 틀:Llang)은 일련의 반사들로 구성되는 군이다. 단순 리 군의 바일 군은 유한 콕서터 군이며, 따라서 유한 콕서터 군은 단순 리 군과 유사하게 분류할 수 있다. 또한, 다각형이나 다면체의 반사 대칭군 또한 유한 콕서터 군이므로, 콕서터 군은 정다면체의 분류와도 관련있다.

정의

콕서터 군은 다음과 같이 표시될 수 있는 군이다.

G = ⟨ r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n} | (r_{i} r_{j})^{m_{i j}} = 1 ⟩

여기서 행렬 $m_{i j}$ 는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

$m_{i i} = 1$
$2 \leq m_{i j} \leq \infty$ ( $i \neq j$ ). 여기서 $m_{i j} = \infty$ 인 경우는 $(r_{i} r_{j})^{m_{i j}} = 1$ 의 꼴의 관계를 아예 적용하지 않아야 한다는 뜻이다.

이 행렬 $m$ 을 콕서터 군의 콕서터 행렬(Coxeter行列, 틀:Llang)이라고 하고, $n$ 을 콕서터 군의 계수(階數, 틀:Llang)라고 한다. 순서쌍 $(G, {r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}})$ 을 콕서터 계(Coxeter系, 틀:Llang)라고 한다. 두 콕서터 군이 군으로서 동형이더라도, 서로 동형이 아닌 콕서터 계를 가질 수 있다. 예를 들어, 군으로서 $B C_{3} ≅ A_{1} \times A_{3}$ 이지만, 이들은 서로 다른 콕서터 계를 가진다. 그러나 콕서터 군의 계수는 표시에 관계없는 불변량이다.

콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표

콕서터 군의 콕서터 행렬 $M$ 은 다른 방법으로 표기할 수 있다.

콕서터 도표(Coxeter圖表, 틀:Llang)은 콕서터 군을 그래프로 나타내는 방법이다. 구체적으로, 이는 각 변에 유리수 $p$ 가 붙은 그래프이다.

콕서터 도표의 각 꼭짓점은 어떤 거울 반사의 반사면을 나타낸다.
콕서터 도표의 두 꼭짓점 사이의, 수 p가 붙은 변은 두 거울 반사 사이의 각도가 π/p라는 것을 뜻한다. 그림을 간략하게 하기 위하여, 통상적으로 다음과 같은 규칙을 따른다.
- $p = 2$ 인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 $π / 2 = 9 0^{\circ}$ 인 경우에는 변을 통상적으로 생략한다.
- $p = 3$ 인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 $π / 3 = 6 0^{\circ}$ 인 경우에는 변을 그리되, $p$ 를 통상적으로 생략한다.
- $p \neq 2, 3$ 인 경우 통상적으로 변 및 $p$ 의 값을 생략하지 않는다.

콕서터 행렬 $M$ 에 대응하는 슐레플리 행렬(틀:Llang) $C$ 의 성분은 다음과 같다.

C_{i, j} = - 2 \cos (π / M_{i, j})

즉, 콕서터 행렬은 두 반사면 사이의 각도의 라디안 값 $π / p$ 의 분모 $p$ 를 나타내는 반면, 슐레플리레 행렬은 각도의 코사인의 −2배를 표기한다.

예를 들어, 비교적 간단한 콕서터 군들의 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표는 다음과 같다.

콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표의 예
콕서터 군	A₁×A₁	A₂	Ĩ₁	A₃	BC₃	D₄	Ã₃
콕서터 도표	$∙ ∙$	$∙ - ∙$	$∙ \overset{\infty}{-} ∙$	$∙ - ∙ - ∙$	$∙ \overset{4}{-} ∙ - ∙$	$∙ - ∙ < \binom{∙}{∙}$	$∙ < \binom{∙}{∙} > ∙$
콕서터 행렬	$(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 & \infty \\ \infty & 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \end{matrix})$
슐레플리 행렬	$(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 & - \sqrt{2} & 0 \\ - \sqrt{2} & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 2 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix})$
슐레플리 행렬의 고윳값	2, 2	1, 3	0, 4	2, 2±√2	2, 2±√3	2, 2, 2±√3	0, 2, 2, 4
분류	유한	유한	아핀	유한	유한	유한	아핀

콕서터 군은 그 슐레플리 행렬 $C$ 의 고윳값들에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.

유한 콕서터 군(틀:Llang): $C$ 의 고윳값들이 모두 양의 실수이다. 이 경우는 유한군이며, 폴리토프(=초구의 테셀레이션)의 대칭군과 관련있다.
아핀 콕서터 군(틀:Llang): $C$ 의 고윳값들이 모두 음의 실수가 아니며, 0을 고윳값으로 갖는다. 이 경우는 무한군이며, 유클리드 공간의 테셀레이션의 대칭군과 관련있다.
쌍곡선 콕서터 군(틀:Llang): $C$ 는 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는다. 이 경우는 무한군이며, 쌍곡공간의 테셀레이션의 대칭군과 관련있다.

성질

크기

유한 콕서터 군의 크기 $g$ 는 그 콕서터 수 $h$ 와 다음과 같이 관계있다.^[1]틀:Rp

[p]: 2h/g_p = 1
[p,q]: 8/g_p,q = 2/p + 2/q -1
[p,q,r]: 64h/g_p,q,r = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r
[p,q,r,s]: 16/g_p,q,r,s = 8/g_p,q,r + 8/g_q,r,s + 2/(ps) - 1/p - 1/q - 1/r - 1/s +1

호몰로지

콕서터 군은 유한 개의, 차수 2의 원소들로 생성되었으므로, 그 아벨화(=1차 군 호몰로지)는 2차 순환군 $ℤ / 2$ 들의 유한 개의 직합이다. 콕서터 군의 슈어 승수(=2차 군 호몰로지) 역시 알려져 있다.^[2]^[3]^[4]

불변량

계수 $n$ 의 유한 콕서터 군 $G$ 는 $n$ 차원 (실수) 벡터 공간 $V$ 위에 자연스러운 표현을 갖는다. 이 경우, $G$ 의 작용에 대하여 불변인 다항식들의 대수 $ℂ [V]^{G}$ 을 생각할 수 있다.

이는 항상 자유 가환 단위 결합 대수(=다항식 대수)를 이룬다. 불변량 대수 $ℂ [V]^{G}$ 의 생성원들의 수는 군의 계수 $n$ 이며, 불변량 대수의 생성원(기본 불변량 틀:Llang)들의 차수는 아래 표에 제시하였다. 이들은 다음과 같은 성질을 보인다.

생성원들의 차수 가운데 최댓값은 항상 콕서터 수 $h$ 이며, 최솟값은 2이다.
차수 $d$ 의 생성원이 존재한다면, 차수 $h + 2 - d$ 의 생성원 역시 존재한다.

콕서터 원소

반사 $r_{1}, \dots, r_{n}$ 으로 생성되는 콕서터 군 $G$ 의 콕서터 원소는 다음과 같은 꼴의 원소이다.

r_{σ (1)} r_{σ (2)} \dots r_{σ (n)} \in G (σ \in Sym (n))

물론, 이는 순열 $σ \in Sym (n)$ 에 의존하며, 일반적으로 유일하지 않으나, 모든 콕서터 원소는 하나의 켤레류에 속한다. 특히, 모든 콕서터 원소는 같은 차수를 갖는다. 콕서터 원소의 차수를 콕서터 군 $G$ 의 콕서터 수(Coxeter數, 틀:Llang)라고 한다.

길이 함수

틀:본문 콕서터 군 $G$ 위에는 다음과 같은 콕서터 길이 함수가 존재한다.

ℓ : G \to ℕ

이는 원소를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수이다. 이 길이 함수를 사용하여 $G$ 위에 여려 부분 순서를 정의할 수 있으며, 또한 유한 콕서터 군의 경우 유일한 최장(最長) 원소가 존재한다.

분류

유한 콕서터 군

유한 콕서터 군들은 모두 완전히 분류되었고, 다음 표와 같다. 두 유한 콕서터 군의 곱은 또다른 유한 콕서터 군이므로, 아래 표는 두 콕서터 군의 곱으로 나타낼 수 없는 콕서터 군들만을 나열하였다. 유한 콕서터 군의 기호에서 아랫첨자는 콕서터 군의 계수(즉, 콕서터 도표의 점의 수)와 같다.

기호	다른 기호	콕서터 표기법	콕서터 도표	크기	콕서터 수 h	관련 폴리토프	기본 불변량들의 차수
A_n	A_n	[3^n-1]	$∙ - ∙ - \dots - ∙$	(n + 1)!	n + 1	n-단체	2, 3, 4, …, n + 1
BC_n	C_n	[4,3^n-2]	$∙ \overset{4}{-} ∙ - \dots - ∙$	2ⁿ n!	2n	n-초입방체 / n-cross-polytope	2, 4, 6, …, 2n
D_n	B_n	[3^n-3,1,1]	$∙ - \dots - ∙ < \binom{∙}{∙}$	2ⁿ⁻¹ n!	2n − 2	n-demihypercube	2, 4, 6, …, 2n − 2
E₆	E₆	[3^2,2,1]	$\binom{∙ - ∙}{∙ - ∙} > ∙ - ∙$	72×6!	12	2₂₁, 1₂₂	2, 5, 6, 8, 9, 12
E₇	E₇	[3^3,2,1]	$\binom{∙ - ∙}{∙} > ∙ - ∙ - ∙ - ∙$	72×8!	18	3₂₁, 2₃₁, 1₃₂	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E₈	E₈	[3^4,2,1]	$\binom{∙ - ∙}{∙} > ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - ∙$	192×10!	30	4₂₁, 2₄₁, 1₄₂	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F₄	F₄	[3,4,3]	$∙ - ∙ \overset{4}{-} ∙ - ∙$	1152	12	24-cell	2, 6, 8, 12
H₃	G₃	[3,5]	$∙ - ∙ \overset{5}{-} ∙$	120	10	정이십면체 / 정십이면체	2, 6, 10
H₄	G₄	[3,3,5]	$∙ - ∙ - ∙ \overset{5}{-} ∙$	14400	30	120-cell / 600-cell	2, 12, 20, 30
I₂(p)	D₂^p	[p]	$∙ \overset{p}{-} ∙$	2p	p	정p각형	2, p

위 목록에서, 다음과 같은 항목들이 서로 중복된다.

A_{2} = I_{2} (3)

B C_{2} = I_{2} (4)

D_{3} = A_{3}

또한, $E_{n}$ 및 $H_{n}$ 을 작은 $n$ 에 대하여 그대로 연장한다면 다음과 같은 항목들이 중복된다.

E_{5} = D_{5}

E_{4} = A_{4}

H_{2} = I_{2} (5)

바일 군은 유한 콕서터 군 가운데, 결정 조건(結晶條件, 틀:Llang)을 만족시키는 것이다. 여기서 결정 조건이란 콕서터 도표의 모든 변에 대하여, 첨부된 숫자가 2, 3, 4, 또는 6 (즉, 90°, 60°, 45°, 30°)이어야 한다는 것이다. 이 경우, $p = 4$ 또는 $p = 6$ 인 경우는 각각 딘킨 도표에서 변이 2겹 또는 3겹인 경우에 해당한다. 따라서, 유한 콕서터 군 가운데 바일 군인 것들은 다음 목록에 수록된 군들의 직접곱이다.

$A_{n}$
$B C_{n}$ . 이들은 리 군 $B_{n}$ 및 $C_{n}$ 의 바일 군이다.
$D_{n}$
$E_{6}$ , $E_{7}$ , $E_{8}$
$F_{4}$
$I_{2} (6)$ . 이는 $G_{2}$ 의 바일 군이다.

유한 콕서터 군들의 콕서터 도표는 다음과 같다.

아핀 콕서터 군

아핀 콕서터 군의 기호의 아랫첨자는 계수(콕서터 도표의 꼭짓점의 수)보다 1 작으며, 이들은 대응하는 유한 콕서터 군의 기호에 물결표(~)를 덧씌워 표기한다.

기호	비트 기호	콕서터 기호	관련 테셀레이션	콕서터 도표
${\tilde{A}}_{n}$	P_n+1	[3^[n]]	단체 쪽매맞춤(simplectic honeycomb)	$∙ < \binom{∙ - \dots - ∙}{∙ - \dots - ∙} > ∙$
${\tilde{B}}_{n}$	S_n+1	[4,3^n-3,3^1,1]	반하이퍼큐브(demihypercube) 쪽매맞춤	$∙ \overset{4}{-} ∙ - \dots - ∙ < \binom{∙}{∙}$
${\tilde{C}}_{n}$	R_n+1	[4,3ⁿ⁻²,4]	하이퍼큐브 쪽매맞춤	$∙ \overset{4}{-} ∙ - ∙ - \dots - ∙ - ∙ \overset{4}{-} ∙$
${\tilde{D}}_{n}$	Q_n+1	[ 3^1,1,3ⁿ⁻⁴,3^1,1]	demihypercubic honeycomb	$\binom{∙}{∙} > ∙ - ∙ - \dots - ∙ < \binom{∙}{∙}$
${\tilde{E}}_{6}$	T₇	[3^2,2,2]	2₂₂	$\binom{∙ - ∙}{∙ - ∙} > ∙ - ∙ - ∙$
${\tilde{E}}_{7}$	T₈	[3^3,3,1]	3₃₁, 1₃₃	$\binom{∙ - ∙ - ∙}{∙ - ∙ - ∙} > ∙ - ∙$
${\tilde{E}}_{8}$	T₉	[3^5,2,1]	5₂₁, 2₅₁, 1₅₂	$\binom{∙ - ∙}{∙} > ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - ∙$
${\tilde{F}}_{4}$	U₅	[3,4,3,3]	16-cell 쪽매맞춤, 24-cell 쪽매맞춤	$∙ - ∙ \overset{4}{-} ∙ - ∙ - ∙$
${\tilde{G}}_{2}$	V₃	[6,3]	정육각형 쪽매맞춤, 정삼각형 쪽매맞춤	$∙ \overset{6}{-} ∙ - ∙$
${\tilde{I}}_{1}$	W₂	[∞]	직선의 단위 구간에 의한 쪽매맞춤	$∙ \overset{\infty}{-} ∙$

아핀 콕서터 군의 콕서터 도표는 다음과 같다.

쌍곡선 콕서터 군

쌍곡선 콕서터 군(틀:Llang)의 분류는 유한 콕서터 군이나 아핀 콕서터 군의 분류보다 더 복잡하다.

역사

해럴드 스콧 맥도널드 콕서터가 1930년대에 도입하였다.^[5]^[6] 이후 자크 티츠와 니콜라 부르바키가 콕서터 군의 이론의 발전에 공헌하였다.

각주

틀:각주

같이 보기

외부 링크

틀:위키공용분류

틀:전거 통제

[1] 틀:서적 인용

[2] 틀:저널 인용

[3] 틀:저널 인용

[4] 틀:저널 인용

[5] 틀:저널 인용

[6] 틀:저널 인용

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

콕서터 군

목차

정의

콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표

성질

크기

호몰로지

불변량

콕서터 원소

길이 함수

분류

유한 콕서터 군

아핀 콕서터 군

쌍곡선 콕서터 군

역사

각주

같이 보기

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콕서터 군

정의

콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표

성질

크기

호몰로지

불변량

콕서터 원소

길이 함수

분류

유한 콕서터 군

아핀 콕서터 군

쌍곡선 콕서터 군

역사

각주

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